Media battuta bayesiana prima

Volevo porre una domanda ispirata a un'eccellente risposta all'interrogazione sull'intuizione per la distribuzione beta. Volevo capire meglio la derivazione per la distribuzione precedente per la media battuta. Sembra che David stia ritirando i parametri dalla media e dall'intervallo.

Partendo dal presupposto che la media sia e la deviazione standard sia , è possibile annullare e risolvendo queste due equazioni: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0,27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0,18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
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Onestamente, ho continuato a rappresentare graficamente i valori in R fino a quando non sembrava giusto.

— David Robinson,

dove ottieni la deviazione standard essere .18?

— AppleLover,

Come ti è venuta questa deviazione standard? Lo sapevi in anticipo?

— Maria Lavrovskaya,

Risposte:

Notare che:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Ciò significa che la varianza può quindi essere espressa in termini di media come

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Se vuoi una media di e una deviazione standard di (varianza ), calcola solo: $.27$ $.18$ $.0324$

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{0,0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Ora che conosci il totale, e sono facili: $\alpha$ $\beta$

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Puoi controllare questa risposta in R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
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David, ti capita di seguire qualche ricerca sul baseball? Esistono diverse tecniche in competizione per trovare i corretti e , quindi mi chiedevo se avessi qualche opinione in merito se stavi facendo qualcosa oltre a cercare un grafico che fosse ragionevole.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan,

Non seguo particolarmente i sabermetrici: nell'altra risposta è appena successo per fornire un esempio molto conveniente di stima di p da un binomio con un precedente. Non so nemmeno se è così che si fa in sabermetria, e se lo è, so che ci sono molti componenti che ho lasciato fuori (i giocatori hanno diversi priori, aggiustamenti dello stadio, ponderando i colpi recenti rispetto a quelli vecchi ...)

— David Robinson,

Sono impressionato dal fatto che il tuo bulbo oculare sia stato così accurato.

— Dimitriy V. Masterov,

Ciao David, come ottieni da questi valori di e ai tuoi valori di bulbo oculare nel post collegato rispettivamente di 81 e 219?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Alex,

@Alex La varianza richiesta e la deviazione standard provengono dalla domanda precedente, che ha richiesto una SD di .18, non il post di distribuzione beta. Se stavo calcolando invece di guardare negli occhi avrei potuto indovinare una SD di qualcosa come .03, che avrebbe dato valori di 59 e 160.

— David Robinson,

Volevo aggiungere questo come commento alla risposta eccellente, ma ha funzionato a lungo e avrà un aspetto migliore con la formattazione della risposta.

Qualcosa da tenere a mente è che non tutti sono possibili. È chiaro , ma non altrettanto chiari sono i limiti per . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Usando lo stesso ragionamento di David, possiamo esprimere

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Questo sta diminuendo rispetto a , quindi il più grande può essere per un dato è: $\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

Questo è solo un supremum poiché l'insieme di valido è aperto (cioè, per Beta, dobbiamo avere ); questo limite è di per sé massimizzato in . $\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

Notare la relazione con un corrispondente Bernoulli RV. La distribuzione Beta con media , poiché è costretta a prendere tutti i valori compresi tra 0 e 1, deve essere meno dispersa (cioè avere una varianza inferiore) rispetto al Bernoulli RV con la stessa media (che ha tutta la sua massa alle estremità dell'intervallo). In effetti, l'invio di a 0 e la correzione di equivale a mettere sempre più parte della massa del PDF vicino a 0 e 1, vale a dire avvicinarsi a una distribuzione di Bernoulli, motivo per cui il supremo della varianza è esattamente la corrispondente varianza di Bernoulli. $\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Nel loro insieme, ecco l'insieme di mezzi e varianze validi per Beta:

(In effetti questo è indicato sulla pagina di Wikipedia per Beta )

— MichaelChirico
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