Come trovare la distribuzione marginale dalla distribuzione congiunta con dipendenza multi-variabile?

Uno dei problemi nel mio libro di testo si pone come segue. Un vettore continuo stocastico bidimensionale ha la seguente funzione di densità:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Mostra che le funzioni di densità marginale e sono: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Capisco come viene calcolata la funzione di densità , integrando da a rispetto a . Sono comunque totalmente perso su , da dove viene ? Se integro da a rispetto a ottengo solo , e perché l'intervallo è ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Ho rappresentato graficamente il supporto per , tutti i valori in cui sono colorati in blu: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Il supporto per $ X, Y $

— soren.qvist
fonte

Potrebbe essere utile disegnare un'immagine del supporto di (che è l'insieme di per cui ). Questo dovrebbe rispondere immediatamente ad alcune delle tue domande.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Va bene, quindi ho rappresentato graficamente il supporto e penso di capire perché è 0 <y <1, è perché x è definito solo in 0 <x <1 e poiché 0 <y <x abbiamo quindi naturalmente che y è solo definito da 0 a 1, corretto? Ma ancora non capisco la parte (1-y ^ 2).

— soren.qvist

Suggerimento: la densità marginale di è l' integrale di che, per un valore fisso di , , è diverso da zero solo per quelli soddisfano . Cioè, ed è qui che il parte da.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate,

Grazie per il suggerimento Dilip, temo di non capirlo del tutto però. ".. per un valore fisso di , , è diverso da zero solo per quelli soddisfano ." Ti riferisci all'area blu del grafico?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Sì. Mi riferisco all'area blu del grafico. è l'integrale (area sotto la curva) di una funzione di che ha valore se è compreso tra e (l'area blu) e altrimenti. Ripetere l'operazione per altri valori fissi di e notare che ogni volta che il valore numerico di risulta essere lo stesso numero ottenuto "inserendo" il valore scelto di nell'espressione

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ come indicato nel foglio delle risposte. Poi, arriva il "Hey Ma, penso di vedere uno schema!" momento e ti rendi conto che uguale all'integrale mostrato.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate,

Come hai giustamente sottolineato nella tua domanda, viene calcolato integrando la densità del giunto, rispetto a X. La parte critica qui è identificare l'area su cui integrare. Hai già chiaramente mostrato graficamente il supporto della funzione di distribuzione congiunta . Quindi, ora, puoi notare che l'intervallo di nella regione ombreggiata va da a (cioè graficamente, puoi visualizzare linee orizzontali, parallele all'asse x, andando dalla linea diagonale alla linea verticale in ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Così, i limiti inferiore e superiore della integrazione saranno e . Pertanto, la soluzione al problema è la seguente: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
fonte