Distinzione concettuale tra eteroscedasticità e non stazionarietà

9

Ho difficoltà a distinguere tra i concetti di scedasticità e stazionarietà. A quanto ho capito, l'eteroscedasticità è una variabilità differenziata nelle sottopopolazioni e la non stazionarietà è una media / varianza che cambia nel tempo.

Se questa è una comprensione corretta (sebbene semplicistica), la non stazionarietà è semplicemente un caso specifico di eteroscedasticità nel tempo?

— TCAllen07
fonte

5

Considera la situazione in cui la media cambia nel tempo ma la varianza no.

— whuber

5

Per fornire definizioni precise, lascia che $X_1, \ldots, X_n$ siano variabili casuali a valore reale.

La stazionarietà viene generalmente definita solo se pensiamo all'indice delle variabili come tempo . In questo caso la sequenza di variabili casuali è fissa su ha la stessa distribuzione di . Ciò implica, in particolare, che per hanno tutti la stessa distribuzione marginale e quindi la stessa media e varianza marginali (dato che hanno un secondo momento finito). $X_1, \ldots, X_{n-1}$ $X_2, \ldots, X_n$ $X_i$ $i = 1, \ldots, n$

Il significato dell'eteroscedasticità può dipendere dal contesto. Se le varianze marginali di cambiano con (anche se la media è costante) le variabili casuali vengono chiamate eteroscedastiche nel senso di non essere omoscedastiche. $X_i$ $i$

Nell'analisi di regressione di solito consideriamo la varianza della risposta in modo condizionale sui regressori e definiamo l'eteroscedasticità come una varianza condizionale non costante.

In analisi di serie temporali, dove la terminologia eteroscedasticità condizionale è comune, l'interesse è tipicamente la varianza di condizionatamente . Se questa varianza condizionale non è costante, abbiamo un'eteroscedasticità condizionale. Il modello ARCH (eteroscedasticità condizionale autoregressiva) è l'esempio più famoso di un modello di serie storica stazionario con varianza condizionale non costante. $X_k$ $X_{k-1}, \ldots, X_1$

L'eteroscedasticità (in particolare l'eteroscedasticità) non implica una non stazionarietà in generale.

La stazionarietà è importante per una serie di motivi. Una semplice conseguenza statistica è che la media è quindi uno stimatore imparziale dell'attesa (e ipotizzando ergodicità , che è leggermente più rispetto alla stazionarietà e spesso assunta implicitamente, la media è uno stimatore coerente delle aspettative per ).

\frac{1}{n} Σ_{io = 1}^{n} f (X_{io})

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i)$

E f (X_{1})

$E f(X_1)$

n \to \infty

$n \to \infty$

L'importanza dell'eteroscedasticità (o omoscedasticità) è, da un punto di vista statistico, correlata alla valutazione dell'incertezza statistica, ad esempio il calcolo degli intervalli di confidenza. Se i calcoli vengono eseguiti ipotizzando l'omoscedasticità mentre i dati mostrano effettivamente eteroscedasticità, gli intervalli di confidenza che ne risultano possono essere fuorvianti.

— NRH
fonte

0

Una serie temporale è stazionaria se tutte le sue proprietà statistiche non dipendono dall'origine temporale. Se questo requisito non viene soddisfatto, le serie temporali non sono fisse.

Anche una serie storica stazionaria non può essere descritta sulla base di un solo record di esempio. Le sue proprietà statistiche devono essere analizzate facendo la media sull'insieme delle registrazioni dei campioni con origini diverse.

Se le proprietà statistiche sono le stesse per ogni singolo record di campione e per il caso in cui sono determinate attraverso la media dell'insieme, la serie temporale è ergodica.

Poiché le proprietà statistiche di una serie storica eteroscedattica dipendono dal tempo, non è stazionaria e, naturalmente, non ergodica. Le sue proprietà determinate per un singolo record del campione non possono essere estese al suo comportamento passato e futuro.

Per inciso, l'analisi di correlazione / regressione non può essere applicata alle serie temporali poiché la dipendenza tra loro (la funzione di coerenza) è dipendente dalla frequenza e può essere caratterizzata attraverso equazioni di differenza stocastica (multivariata) (dominio del tempo) o le funzioni di risposta in frequenza (dominio della frequenza).

L'estensione dell'analisi di regressione sviluppata per variabili casuali alle serie temporali è errata (ad es. Vedere Bendat e Piersol, 2010; Box et al., 2015).

— Vincitore
fonte

0

Vi sono 3 gradi di fermo. La forma debole richiede media e la varianza viene mantenuta costante. Ciò significa che delle 3 definizioni stazionarie sono requisiti più forti dell'eteroscedasticità perché l'eteroscedasticità significa varianza costante, senza riferimento alla media.

Un processo può avere eteroscedasticità. Ma se la sua media non è costante, il processo non è (debolmente) stazionario.

Un processo stazionario (denotalo con 'S') implica l'omoscedasticità (denotiamolo con 'H'). Quindi S -> H.

Naturalmente anche la sua contrapposizione è vera . Quindi H '-> S', ovvero la non omosedasticità implica non stazionario.

Ma l' inversione e la negazione non sono vere . In altre parole:

"Non stazionario implica non omoscedasticità" non è vero.

"Esiste un processo stazionario che non è omoscedasticità" non è vero.

— Sarah
fonte