Differenza delle variabili casuali gamma

Date due variabili casuali indipendenti $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ e $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ , qual è la distribuzione della differenza, ovvero $D=X-Y$ ?

Se il risultato non è noto, come farei per derivarne il risultato?

distributions gamma-distribution

— FBC
fonte

Penso che possa essere rilevante: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov,

Sfortunatamente non pertinente, quel post considera la somma ponderata delle variabili casuali Gamma in cui i pesi sono strettamente positivi. Nel mio caso i pesi sarebbero rispettivamente +1 e -1.

— FBC,

L'articolo di Moschopoulos afferma che il metodo può essere esteso a combinazioni lineari, ma hai ragione sul fatto che il riscalaggio sembra essere limitato a pesi maggiori di 0. Sono corretto.

— Dimitriy V. Masterov il

C'è poca speranza di derivare qualcosa di semplice o in forma chiusa a meno che i due fattori di scala non siano gli stessi.

— whuber

Solo una piccola osservazione: per il caso speciale di camper distribuiti in modo esponenziale con lo stesso parametro il risultato è Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric,

Descriverò come affrontare il problema e indicherò quale penso che il risultato finale sarà per il caso speciale quando i parametri della forma sono numeri interi, ma non riempirò i dettagli.

Innanzitutto, nota che assume valori in e quindi ha il supporto . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
In secondo luogo, dai risultati standard che la densità della somma di due variabili casuali continue indipendenti è la convoluzione delle loro densità, cioè che la densità della variabile casuale è , deduci che
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (X) f_{- Y} (z - X) d X = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (X) f_{Y} (X - z) d X .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Terzo, per le variabili casuali non negative e , si noti che l'espressione precedente semplifica in $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (X) f_{Y} (X - z) d X, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Infine, usando la parametrizzazione per indicare una variabile casuale con densità $\Gamma(s,\lambda)$ , e con e variabili casuali, abbiamo perche $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$ Allo stesso modo, per,
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{S - 1}}{Γ (S)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ X)^{S - 1}}{Γ (S)} \exp (- λ X) μ \frac{(μ (X - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (X - z)) d X \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (X, z) \exp (- (λ + μ) X) d X . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Questi integrali non sono facili da valutare, ma per il caso speciale , Gradshteyn e Ryzhik, Tabelle degli integrali, Serie e prodotti, Sezione 3.383, elenca il valore di $s = t$

\int_{0}^{\infty} X^{S - 1} (X + β)^{S - 1} \exp (- ν X) d X

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

Da qui in poi, assumiamo che e $s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

Per $z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
Allo stesso modo, per $z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
fonte

+1: Dopo aver esaminato questo problema prima, trovo affascinante questa risposta.

— Neil G,

Accetterò questa risposta anche se non sembra esserci una soluzione a forma chiusa. È il più vicino possibile, grazie!

— FBC,

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

@mpacer No,

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

@mpacer Se

è una variabile casuale positiva con densità

, allora non è vero che

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Per quanto ne sappia, la distribuzione della differenza tra due range gamma indipendenti è stata studiata per la prima volta da Mathai nel 1993. Ha derivato una soluzione a forma chiusa. Non riprodurrò il suo lavoro qui. Invece ti indicherò la fonte originale. La soluzione in forma chiusa può essere trovata a pagina 241 come teorema 2.1 nel suo articolo Sul Laplacismo generalizzato non centrale di forme quadratiche in variabili normali .

— Nathan Crock
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