Teorema del limite centrale e legge dei grandi numeri

Ho una domanda molto per principianti riguardo al Teorema del limite centrale (CLT):

Sono consapevole che il CLT afferma che una media di variabili casuali iid è distribuita approssimativamente normale (per , dove è l'indice delle somme) o che la variabile casuale standardizzata avrebbe una distribuzione normale standard. $n \to \infty$ $n$

Ora la Legge del Grande Numero afferma approssimativamente che la media delle variabili casuali iid converge (nella probabilità o quasi sicuramente) al loro valore atteso.

Quello che non capisco è: se, come afferma il CLT, la media è approssimativamente distribuita normalmente, come può convergere contemporaneamente anche al valore atteso?

La convergenza implicherebbe per me che con il passare del tempo la probabilità che la media prenda un valore che non è il valore atteso è quasi zero, quindi la distribuzione non sarebbe realmente normale ma quasi zero ovunque tranne che al valore atteso.

Qualsiasi spiegazione è benvenuta.

— Pegah
fonte

La chiave della risposta sta nel punto in cui la parola "standardizzata" appare nella tua domanda.

— whuber

Mi dispiace ma non sono sicuro di aver capito.

— Pegah,

Suggerimento: un teorema riguarda che ha varianza , l'altro su che ha varianza .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate,

Il teorema del limite centrale riguarda il viaggio e la legge forte dei grandi numeri riguarda la destinazione.

— cardinale

Questa figura mostra le distribuzioni delle medie di (blu), (rosso) e (oro) indipendenti e identicamente distribuite ( iid ) distribuzioni normali (di varianza unitaria e media ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Tre PDF sovrapposti

Man mano che aumenta, la distribuzione della media diventa più "focalizzata" su . (Il senso di "messa a fuoco" è facilmente quantificabile: dato qualsiasi intervallo aperto fisso circostante , la quantità della distribuzione all'interno di aumenta con e ha un valore limite di ) $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

Tuttavia, quando standardizziamo queste distribuzioni, ridimensioniamo ciascuna di esse per avere una media di e una varianza unitaria: allora sono tutte uguali. Questo è il modo in cui vediamo che sebbene i PDF dei mezzi stessi stiano marcando verso l'alto e si concentrino su , tuttavia ognuna di queste distribuzioni ha ancora una forma normale , anche se differiscono individualmente. $0$ $\mu$

Il teorema del limite centrale dice che quando si avvia con qualsiasi distribuzione - non solo una distribuzione normale - che ha una varianza finita, e giocare lo stesso gioco con mezzi di valori IID come aumenta, si vede la stessa cosa: la media le distribuzioni si concentrano attorno alla media originale (la legge debole dei grandi numeri), ma le distribuzioni della media standardizzata convergono in una distribuzione normale standard (il teorema del limite centrale). $n$ $n$

— whuber
fonte

@whuber risposta abbastanza buona, apprezzerò alcune spiegazioni di ciò che intendiamo con la legge debole del gran numero.

— Subhash C. Davar

@subhash Vedi en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber