Come trovare la varianza tra punti multidimensionali?

Supponiamo che io abbia una matrice X che è n per p, cioè che ha n osservazioni, con ogni osservazione nello spazio p-dimensionale.

Come posso trovare la varianza di queste n osservazioni?

Nel caso in cui p = 1, ho solo bisogno di usare la formula di varianza regolare. Che dire dei casi in cui p> 1.

variance

— statnub
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Per un variabile casuale dimensionale , abbiamo la seguente definizione della varianza: $p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

Cioè, la varianza di un vettore casuale è definita come la matrice che memorizza tutte le varianze sulla diagonale principale e le covarianze tra i diversi componenti negli altri elementi. La matrice di covarianza campione verrebbe quindi calcolata collegando gli analoghi del campione per le variabili di popolazione: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ dove indica la esima osservazione per funzione e la media campionaria del

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ th caratteristica. Per riassumere, la varianza di un vettore casuale è definita come la matrice contenente le singole varianze e covarianze. È quindi sufficiente calcolare le varianze e le covarianze del campione per tutti i componenti vettoriali singolarmente.

— Philipp Burckhardt
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