Riconciliazione delle notazioni per modelli misti

Conosco notazioni come:

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ dove

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$ , e

dovee

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

per un modello di intercettazioni casuali e una pendenza casuale + modello di intercettazioni casuali, rispettivamente.

Mi sono anche imbattuto in questa notazione matrice / vettoriale, che mi è stato detto è "notazione modello mista per adulti" (secondo mio fratello maggiore):

dove sono gli effetti fissi sono gli effetti casuali.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Se ho capito bene, quest'ultima notazione è una notazione più generale per la prima, che sono versioni specifiche della seconda.

Vorrei vedere come il primo può essere derivato dal secondo.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
fonte

Stai chiedendo una spiegazione della notazione matriciale? Il motivo per cui mi pongo è che questa domanda non ha bisogno di alcuna derivazione matematica: tutte le tue formule dicono esattamente le stesse cose e le collegano tra loro è solo una questione di capire come funziona la notazione a matrice.

— whuber

@whuber Capisco la notazione della matrice e l'algebra della matrice, in una certa misura. Ma non so come iniziare dalla forma matrice e arrivare alle altre forme. Probabilmente non capisco qualcosa sulle matrici X e Z, ma speravo solo che qualcuno lo spiegasse.

— Joe King,

@whuber c'è qualcosa che posso fare per migliorare la domanda, o stai dicendo che è così semplice che non merita una risposta?

— Joe King,

@JoeKing: Penso che stia dicendo che la notazione a matrice è per definizione equivalente alla tua notazione non a matrice. Cioè, hai già

(matrice ixj volte matrice jx1 che produce matrice ix1

) che è

. (Puoi tirare

includendo 1 in

)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne,

@Wayne entrambi i modelli hanno effetti casuali ed effetti fissi. Il primo ha un'intercettazione casuale, mentre il secondo ha un'intercettazione casuale e una pendenza casuale. Se potessi "capirlo" da solo non farei la domanda qui !!!!

— Joe King,

Consideriamo un modello misto con pendenze casuali e intercettazioni casuali. Dato che abbiamo un solo regressore, questo modello può essere scritto come dove indica - th osservazione del gruppo della risposta, e e

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ il rispettivo predittore e termine di errore.

Questo modello può essere espresso in notazione matrice come segue:

che è equivalente a

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Supponiamo che abbiamo gruppi, vale a dire e lasciamo indicano il numero di osservazioni nel gruppo esimo. Partizionato per ogni gruppo, possiamo scrivere sopra la formula come $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Scrivendoli, abbiamo:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

I vettori del coefficiente di regressione sono quindi

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

$j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhardt
fonte

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$