Posso convertire una matrice di covarianza in incertezze per le variabili?

Ho un'unità GPS che emette una misurazione del rumore tramite matrice di covarianza : $\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(c'è anche $t$ coinvolti, ma ignoriamo che per un secondo.)

Supponiamo di voler dire a qualcun altro che l'accuratezza in ciascuna direzione ( ) è un certo numero. . Vale a dire, il mio GPS potrebbe darmi una lettura di , ecc. La mia comprensione è che in questo caso implica che tutti i misurandi sono indipendenti l'uno dall'altro (cioè, la matrice di covarianza è diagonale). Inoltre, trovare l'errore vettoriale è semplice come aggiungere errori in quadratura (radice quadrata della somma dei quadrati). $x,y,z$ $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ $x=\bar{x}\pm\mu_x$ $\mu$

Cosa succede se la mia matrice di covarianza non è diagonale? Esiste un numero semplice che comprende gli effetti di e $\mu_x^*$ $y$ $z$ direzioni? Come posso trovarlo dato una matrice di covarianza?

covariance measurement-error uncertainty

— Dang Khoa
fonte

Cosa intendi per trovare l'errore vettoriale aggiungendo errori in quadratura? Ognuna delle tue indicazioni è un errore su una quantità diversa - l'aggiunta di errori in quadratura è per quando si combinano più fonti di errore su una quantità. Cosa pensi che significhi l'errore vettoriale?

— Corone,

Una nota a margine: nella regressione multipla le persone spesso dichiarano l'errore standard dei coefficienti di regressione, ma in realtà le stime per i diversi coefficienti sono correlate. È possibile produrre ellissoidi di confidenza al 95% che rappresentano l'incertezza in più dimensioni, molto analoga alla situazione che si sta prendendo in considerazione.

— Silverfish,

Non esiste un unico numero che racchiuda tutte le informazioni sulla covarianza: ci sono 6 informazioni, quindi avrai sempre bisogno di 6 numeri.

Tuttavia ci sono un certo numero di cose che potresti considerare di fare.

In primo luogo, l'errore (varianza) in una particolare direzione , è dato da $i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Dove $\mathbf{e}_i$ è il vettore dell'unità nella direzione di interesse.

Ora se guardi questo per le tue tre coordinate di base , puoi vedere che: $(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Quindi l'errore in ciascuna delle direzioni considerate separatamente è dato dalla diagonale della matrice di covarianza. Questo ha senso intuitivamente: se sto prendendo in considerazione solo una direzione, cambiare solo la correlazione non dovrebbe fare alcuna differenza.

Hai ragione nel notare che semplicemente affermando:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Non implica alcuna correlazione tra queste tre affermazioni: ogni affermazione da sola è perfettamente corretta, ma nel loro insieme alcune informazioni (correlazione) sono state eliminate.

Se eseguirai molte misurazioni ognuna con la stessa correlazione dell'errore (supponendo che provenga dall'apparecchiatura di misurazione), un'elegante possibilità è quella di ruotare le coordinate in modo da diagonalizzare la matrice di covarianza. Quindi puoi presentare gli errori in ciascuna di queste direzioni separatamente poiché ora non saranno correlati.

Per quanto riguarda la presa dell '"errore vettoriale" aggiungendo in quadratura non sono sicuro di aver capito cosa stai dicendo. Questi tre errori sono errori in quantità diverse : non si annullano a vicenda e quindi non vedo come poterli sommare. Vuoi dire errore in lontananza?

— Corone
fonte

Sì, intendo errore nella distanza totale, scusate la confusione.

— Dang Khoa,

d = x + y + z

$d = x + y + z$

d^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$

@Corone, quando dici "In primo luogo, l'errore in una determinata direzione" Ti riferisci alla varianza dicendo l'errore?

— CroCo,

@croco sì, è vero, dal momento che stiamo iniziando con la covarianza

— Corone,