Quale sarebbe un'immagine illustrativa per i modelli misti lineari?

Supponi di essere nella biblioteca del tuo dipartimento di statistica e di imbatterti in un libro con la seguente immagine in prima pagina.

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Probabilmente penserai che questo è un libro sulle cose della regressione lineare.

Quale sarebbe l'immagine che ti farebbe pensare ai modelli misti lineari?

mixed-model

— OCRAM
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Risposte:

Per un discorso, ho usato la seguente immagine che si basa sul sleepstudyset di dati del pacchetto lme4 . L'idea era di illustrare la differenza tra adattamenti di regressione indipendenti dai dati specifici del soggetto (grigio) rispetto alle previsioni da modelli di effetti casuali, in particolare che (1) i valori previsti dal modello di effetti casuali sono stimatori di contrazione e che (2) traiettorie individuali condividono una pendenza comune con un modello solo intercettazione casuale (arancione). Le distribuzioni delle intercettazioni del soggetto sono mostrate come stime della densità del kernel sull'asse y ( codice R ).

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_{(Le curve di densità si estendono oltre l'intervallo dei valori osservati perché vi sono relativamente poche osservazioni.)}

Un grafico più "convenzionale" potrebbe essere quello successivo, che proviene da Doug Bates (disponibile sul sito R-forge per lme4 , ad esempio 4Longitudinal.R ), in cui è possibile aggiungere singoli dati in ciascun pannello.

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— CHL
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+1. Buona! Penso che la tua prima trama sia fantastica a livello concettuale. Il mio unico commento sarebbe che richiede una spiegazione significativamente maggiore rispetto a una trama "ingenua" standard e se il pubblico non è al passo con i concetti dei modelli LME e dei dati longitudinali potrebbe perdere il punto della trama. Lo ricorderò sicuramente per un solido "talk delle statistiche". (Ho già visto la seconda trama nel "libro lme4" un paio di volte. Non ero troppo impressionato allora e non sono neanche troppo impressionato ora.)

— usεr11852 dice Reinstate Monic

@chl: grazie! Sceglierò tra le proposte. Nel frattempo, +1

— ocram

@ user11852 La mia comprensione del modello RI è che le stime OLS sono corrette, ma i loro errori standard non lo sono (a causa della mancanza di indipendenza), quindi anche le singole previsioni saranno errate. Di solito, mostrerei la linea di regressione complessiva assumendo osservazioni indipendenti. Quindi, la teoria ci dice che combinando le modalità condizionali degli effetti casuali e le stime degli effetti fissi si ottengono modalità condizionali dei coefficienti all'interno del soggetto, e ci sarà poco skrinkage quando le unità statistiche sono diverse, o quando le misurazioni sono accurate, o con grandi campioni.

— chl

y | γ \sim N (X β + Z γ, σ^{2} I)

$y|\gamma \sim N(X\beta + Z\gamma, \sigma^2 I)$

y \sim N (X β, Z D Z^{T} + σ^{2} I)

$y \sim N(X\beta, ZDZ^T + \sigma^2 I)$

Il collegamento al codice R per creare l'immagine è interrotto. Sarei interessato a come disegnare le distribuzioni verticalmente nella figura.

— Niels Hameleers,

Quindi qualcosa non "estremamente elegante" ma che mostra anche intercettazioni e pendenze casuali con R. (Immagino che sarebbe ancora più bello se mostrasse anche le equazioni effettive) inserisci qui la descrizione dell'immagine

N =100; set.seed(123);


x1 = runif(N)*3; readings1 <- 2*x1 + 1.0 + rnorm(N)*.99;
x2 = runif(N)*3; readings2 <- 3*x2 + 1.5 + rnorm(N)*.99;
x3 = runif(N)*3; readings3 <- 4*x3 + 2.0 + rnorm(N)*.99;
x4 = runif(N)*3; readings4 <- 5*x4 + 2.5 + rnorm(N)*.99;
x5 = runif(N)*3; readings5 <- 6*x5 + 3.0 + rnorm(N)*.99;

X = c(x1,x2,x3,x4,x5);
Y = c(readings1,readings2,readings3,readings4,readings5)
Grouping  = c(rep(1,N),rep(2,N),rep(3,N),rep(4,N),rep(5,N))

library(lme4);
LMERFIT <- lmer(Y ~ 1+ X+ (X|Grouping))

RIaS <-unlist( ranef(LMERFIT)) #Random Intercepts and Slopes
FixedEff <- fixef(LMERFIT)    # Fixed Intercept and Slope

png('SampleLMERFIT_withRandomSlopes_and_Intercepts.png', width=800,height=450,units="px" )
par(mfrow=c(1,2))
plot(X,Y,xlab="x",ylab="readings")
plot(x1,readings1, xlim=c(0,3), ylim=c(min(Y)-1,max(Y)+1), pch=16,xlab="x",ylab="readings" )
points(x2,readings2, col='red', pch=16)
points(x3,readings3, col='green', pch=16)
points(x4,readings4, col='blue', pch=16)
points(x5,readings5, col='orange', pch=16)
abline(v=(seq(-1,4 ,1)), col="lightgray", lty="dotted");        
abline(h=(seq( -1,25 ,1)), col="lightgray", lty="dotted")   

lines(x1,FixedEff[1]+ (RIaS[6] + FixedEff[2])* x1+ RIaS[1], col='black')
lines(x2,FixedEff[1]+ (RIaS[7] + FixedEff[2])* x2+ RIaS[2], col='red')
lines(x3,FixedEff[1]+ (RIaS[8] + FixedEff[2])* x3+ RIaS[3], col='green')
lines(x4,FixedEff[1]+ (RIaS[9] + FixedEff[2])* x4+ RIaS[4], col='blue')
lines(x5,FixedEff[1]+ (RIaS[10]+ FixedEff[2])* x5+ RIaS[5], col='orange') 
legend(0, 24, c("Group1","Group2","Group3","Group4","Group5" ), lty=c(1,1), col=c('black','red', 'green','blue','orange'))
dev.off()

— usεr11852 dice Reinstate Monic
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Grazie! Aspetto un po 'di più per potenziali nuove risposte ... ma potrei basarmi su questo.

— Ocram,

Sono un po 'confuso dalla tua figura, perché la sottotrama giusta mi sembra come se una linea di regressione separata fosse adatta a ciascun gruppo. Non è forse vero che gli adattamenti di modelli misti dovrebbero essere diversi da quelli indipendenti per gruppo? Forse lo sono, ma in questo esempio è davvero difficile da notare, o mi sto perdendo qualcosa?

— ameba dice di reintegrare Monica l'

Sì, il coefficiente è diverso . No; una regressione separata non era adatta per ciascun gruppo. Vengono mostrati gli accoppiamenti condizionali. In un design omoschedastico perfettamente equilibrato come questo, la differenza sarà davvero difficile da notare, ad esempio l'intercettazione condizionale del gruppo 5 è 2.96 mentre l'intercettazione indipendente per gruppo è 3.00. È la struttura della covarianza degli errori che stai cambiando. Controlla anche la risposta di chi, ha più gruppi ma anche lì in pochissimi casi l'adattamento è "molto diverso" visivamente.

— usεr11852 dice Reinstate Monic il

Non è il mio lavoro

Questo grafico tratto dalla documentazione di Matlab di nlmefit mi sembra evidentemente esemplificativo del concetto di intercettazioni e pendenze casuali. Probabilmente qualcosa che mostra gruppi di eteroschedasticità nei residui di un complotto OLS sarebbe anche piuttosto standard ma non darei una "soluzione".

— usεr11852 dice Reinstate Monic
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Grazie per il tuo suggerimento Sebbene sembri cose di regressione logistica mista, immagino di poterlo adattare facilmente. Aspetto ulteriori suggerimenti. Nel frattempo, +1. Grazie ancora.

— Ocram,

Sembra una regressione logistica mista soprattutto perché è una ... :) È stata la prima trama che mi è venuta in mente davvero! Darò qualcosa di puramente R-ish in una seconda risposta.

— usεr11852 dice Reinstate Monic il