La somma di due variabili casuali gamma indipendenti

Secondo l'articolo di Wikipedia sulla distribuzione gamma :

Se $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ e $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , dove $X$ e $Y$ sono variabili casuali indipendenti, allora $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Ma non vedo alcuna prova. Qualcuno può indicarmi la sua prova per favore?

Modifica: Grazie a Zen molto, e ho anche trovato la risposta come esempio nella pagina di Wikipedia sulle funzioni caratteristiche .

La dimostrazione è la seguente: (1) Ricorda che la funzione caratteristica della somma di variabili casuali indipendenti è il prodotto delle loro singole funzioni caratteristiche; (2) Ottenere la funzione caratteristica di un gamma variabile casuale qui ; (3) Esegui la semplice algebra.

Per ottenere un po 'di intuizione oltre questa argomentazione algebrica, controlla il commento di Whuber.

Nota: l'OP ha chiesto come calcolare la funzione caratteristica di una variabile gamma casuale. Se $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ , allora (puoi considerare come una costante ordinaria, in questo caso)$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Ora usare punta di Huber: Se , allora Y = X 1 + ⋯ + X k , dove la X i s' sono indipendenti E x p ( λ = 1 / θ ) . Pertanto, usando la proprietà (1), abbiamo ψ Y ( t ) = $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Suggerimento: non imparerai queste cose fissando i risultati e le prove: rimani affamato, calcola tutto, prova a trovare le tue prove. Anche se fallisci, il tuo apprezzamento per la risposta di qualcun altro sarà ad un livello molto più alto. E sì, fallire va bene: nessuno sta guardando! L'unico modo per imparare la matematica è combattere a pugni per ogni concetto e risultato.

Ecco una risposta che non ha bisogno di usare funzioni caratteristiche, ma rafforza invece alcune idee che hanno altri usi nelle statistiche. La densità della somma di variabili casuali indipendenti è le convoluzioni delle densità. Quindi, prendendo per facilità di esposizione, abbiamo per z > 0 , f X + Y$\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

A un livello più euristico: se $a$ e $b$ sono numeri interi, la distribuzione Gamma è una distribuzione Erlang e così $X$ e $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$. The two waiting times $X$ and $Y$ are

1. independent
2. sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma($a+b,\theta$).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.