Varianza del prodotto di più variabili casuali

Conosciamo la risposta per due variabili indipendenti:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Tuttavia, se prendessimo il prodotto di più di due variabili, , quale sarebbe la risposta in termini di varianze e valori previsti di ogni variabile? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
fonte

Poiché è una variabile casuale e (supponendo che tutti gli siano indipendenti) è indipendente da , la risposta è ottenuta induttivamente: non è necessaria alcuna novità. Per non sembrare troppo misterioso, la tecnica non è diversa dal sottolineare che, poiché è possibile aggiungere due numeri con una calcolatrice, è possibile aggiungere numeri con la stessa calcolatrice solo con l'aggiunta ripetuta.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Potresti scrivere una prova dell'equazione visualizzata? Sono curioso di scoprire cosa è successo al termine che dovrebbe darti alcuni termini che coinvolgono .

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate, sospetto tacitamente che questa domanda presupponga che e siano indipendenti. La formula del PO è corretta ogni volta che non sono correlati e non sono correlati. Vedi la mia risposta a una domanda correlata qui .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Macro

@Macro Sono ben consapevole dei punti che sollevi. Quello che stavo cercando di far capire e / o capire da solo all'OP era che per variabili casuali indipendenti , proprio come semplifica in semplifica in che Penso che sia un modo più diretto per arrivare al risultato finale rispetto al metodo induttivo che Whuber ha sottolineato.

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate, bello. Ti suggerisco di postarlo come risposta in modo che io possa votarlo!

— Macro

Presumo che le variabili casuali siano indipendenti , condizione che l'OP non ha incluso nell'istruzione del problema. Con questo presupposto, abbiamo che Se il primo termine del prodotto sopra è moltiplicato, uno dei i termini nell'espansione annullano il secondo termine del prodotto sopra indicato, quindi per il caso $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ , abbiamo il risultato dichiarato dal PO. Come sottolinea @Macro, per , non è necessario supporre che e siano indipendenti: la condizione più debole che e non sono correlati e e non sono correlati. Ma per , la mancanza di correlazione non è sufficiente. L'indipendenza è sufficiente, ma non è necessaria. Ciò che è richiesto è il factoring delle aspettative dei prodotti sopra indicati in prodotti di aspettative, che l'indipendenza garantisce.

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
fonte

molte grazie! Lo apprezzo molto. Sì, la domanda era per variabili casuali indipendenti.

— damla,

È anche possibile fare la stessa cosa per le variabili dipendenti? Sto cercando di capire cosa accadrebbe alla varianza se ? Possiamo derivare una formula di varianza in termini di varianza e valore atteso di X?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— damla,

Ho pubblicato la domanda in una nuova pagina. Molte grazie! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

Dilip, esiste una generalizzazione a un numero arbitrario di variabili che non sono indipendenti? (Questa è una domanda diversa da quella posta da Damla nella loro nuova domanda, che riguarda la varianza dei poteri arbitrari di una singola variabile.)

n

$n$

— Alexis,

@Alexis Per quanto ne so, non vi è generalizzazione a variabili casuali non indipendenti, nemmeno, come già sottolineato, per il caso di variabili casuali.

3

$3$

— Dilip Sarwate,