Perché la statistica test di un test del rapporto di verosimiglianza è distribuita chi-quadrato?
Perché la statistica test di un test del rapporto di verosimiglianza è distribuita chi-quadrato?
Risposte:
Come menzionato da @Nick, questa è una conseguenza del teorema di Wilks . Ma si noti che la statistica del test è asintoticamente , non χ 2-distribuita .
Sono molto impressionato da questo teorema perché si colloca in un contesto molto ampio. Si consideri un modello statistico con probabilità dove y è il vettore di osservazioni n osservazioni replicati indipendenti da una distribuzione con parametro θ appartenente ad una sottovariet'a B 1 di R d con dimensione dim ( B 1 ) = s . Sia B 0 ⊂ B 1 una sotto-cartella con dimensione dim ( B 0 . Immagina di essere interessato a testare H 0 : { θ ∈ B 0 } .
Il rapporto di verosimiglianza è Definisce ladevianzad(y)=2log(lr(y)). Quindiil teorema di Wilksdice che, in base alle solite assunzioni di regolarità,d(y)è asintoticamenteχ2-distribuitocons-mgradi di libertà quandoH0è vero.
Lo dimostra il documento originale di Wilk menzionato da @Nick. Penso che questo documento non sia facile da leggere. Wilks pubblicò un libro più tardi, forse con una presentazione più semplice del suo teorema. Una breve prova euristica è fornita nell'eccellente libro di Williams .
Secondo il duro commento di Nick Sabbe, e la mia breve risposta è : non lo è . Voglio dire, è solo nel normale modello lineare. Per qualsiasi altro tipo di circostanza, la distribuzione esatta non è un . In molte situazioni, puoi sperare che le condizioni del teorema di Wilks siano soddisfatte e quindi asintoticamente le statistiche del test del rapporto verosimiglianza convergono nella distribuzione a χ 2 . Limitazioni e violazioni delle condizioni del teorema di Wilks sono troppo numerose per essere ignorate.
Per una revisione di questi e simili problemi esoterici nell'inferenza di verosimiglianza, vedi Smith 1989 .