Studente t come miscela di gaussiano

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Utilizzando la distribuzione t dello studente con $k > 0$ gradi di libertà, il parametro di posizione e il parametro di scala hanno densità $l$ $s$

\frac{Γ (\frac{k + 1}{2})}{Γ (\frac{k}{2} \sqrt{k π s^{2}})} {1 + k^{- 1} (\frac{x - l}{s})}^{- (k + 1) / 2},

$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$

come dimostrare che la distribuzione Student può essere scritta come una miscela di distribuzioni gaussiane lasciando , e l'integrazione della densità articolare per ottenere la densità marginale ? Quali sono i parametri della distribuzione risultante , come funzioni di ? $t$ $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ $f(x,\tau|\mu)$ $f(x|\mu)$ $t$ $\mu,\alpha,\beta$

Mi sono perso nel calcolo integrando la densità condizionale comune con la distribuzione gamma.

distributions mixture

— Salih Ucan
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Il PDF di una distribuzione normale è

f_{μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x

$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$

ma in termini di lo è $\tau = 1/\sigma^2$

g_{μ, τ} (x) = \frac{\sqrt{τ}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{τ (x - μ)^{2}}{2}} d x .

$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$

Il PDF di una distribuzione Gamma è

h_{α, β} (τ) = \frac{1}{Γ (α)} e^{- \frac{τ}{β}} τ^{- 1 + α} β^{- α} d τ .

$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$

Il loro prodotto, leggermente semplificato con una semplice algebra, è quindi

f_{μ, α, β} (x, τ) = \frac{1}{β^{α} Γ (α) \sqrt{2 π}} e^{- τ (\frac{(x - μ)^{2}}{2} + \frac{1}{β})} τ^{- 1 / 2 + α} d τ d x .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$

La sua parte interna ha evidentemente la forma , rendendola un multiplo di una funzione Gamma quando integrata su tutto l'intervallo $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$ $\tau=0$ a . Quell'integrale quindi è immediato (ottenuto conoscendo l'integrale di una distribuzione Gamma è unità), dando la distribuzione marginale $\tau=\infty$

f_{μ, α, β} (x) = \frac{\sqrt{β} Γ (α + \frac{1}{2})}{\sqrt{2 π} Γ (α)} \frac{1}{{(\frac{β}{2} (x - μ)^{2} + 1)}^{α + \frac{1}{2}}} .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$

Cercare di abbinare il modello fornito per la distribuzione mostra che c'è un errore nella domanda: il PDF per la distribuzione t Student è effettivamente proporzionale a $t$

\frac{1}{\sqrt{k} s} {(\frac{1}{1 + k^{- 1} {(\frac{x - l}{s})}^{2}})}^{\frac{k + 1}{2}}

$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$

(la potenza di è , non ). La corrispondenza dei termini indica , e $(x-l)/s$ $2$ $1$ $k = 2 \alpha$ $l=\mu$ . $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

Si noti che non era necessario alcun calcolo per questa derivazione: tutto riguardava la ricerca delle formule dei PDF normali e gamma, l'esecuzione di alcune banali manipolazioni algebriche che coinvolgono prodotti e poteri e la corrispondenza di schemi in espressioni algebriche (in quell'ordine).

— whuber
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Ispirato da questa risposta, ho realizzato un'animazione della distribuzione t come una miscela di distribuzioni normali. È disponibile qui: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— Rasmus Bååth

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@whuber: Tecnicamente, per quel tipo di abbinamento c'è sempre un uso implicito del calcolo nel tuo riconoscimento che puoi integrare la densità gamma usando la sua forma integrale nota. (Questo è l'equivalente statistico di nascondere i broccoli mescolandoli con carne e patate.) Un modo intelligente di nascondere il calcolo!

— Ripristina Monica il

1

Non conosco i passaggi del calcolo, ma conosco i risultati di alcuni libri (non ricordo quale ...). Di solito lo tengo a mente direttamente ... :-) La distribuzione Student con la libertà di grado può essere considerata una distribuzione normale con la miscela di varianza , dove segue la distribuzione gamma inversa. Più precisamente, ~ , = $t$ $k$ $Y$ $Y$ $X$ $t(k)$ $X$ $\sqrt Y$ $\Phi$ $Y$ $IG(k/2,k/2)$ $\Phi$

— Jingjings
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0

$0$

\sqrt{1 / τ} X = Y

$\sqrt{1/\tau} X =Y$

τ

$\tau$

Y

$Y$

τ

$\tau$

τ

$\tau$

\sqrt{1 / τ} X

$\sqrt{1/\tau} X$

τ \sim Γ (α, β) \sim \frac{β}{2} Γ (α, 2) \sim \frac{β}{2} χ^{2} (2 α)

$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$ using a well-known result about gammas and Chi-squares (decompose a gamma as a sum of exponentials and combine the exponentials to normals to Chi squares) This in turn implies that

Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(β / 2) χ^{2} (2 α)}}

$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$

= \frac{X \sqrt{α β}}{\sqrt{χ_{2 α}^{2} / (2 α)}}

$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$ which is a scaled t with

k = 2 α

$k=2\alpha$ and

s = 1 / \sqrt{α β}

$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ by variance of t. We can recenter our representation at

μ

$\mu$ and

l

$l$ would follow.

— Romil Sirohi
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