Valore atteso e varianza del registro (a)

Ho una variabile casuale $X(a) = \log(a)$ dove a è distribuito normalmente $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ . Cosa posso dire di $E(X)$ e $Var(X)$ ? Anche un'approssimazione sarebbe utile.

— rocksportrocker
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Penso che la domanda riguardasse l '"inverso" del log-normale, cioè dove un normale rv A porta al log-normale X = exp (A), l'interrogatore stava chiedendo della distribuzione di X = log (A), che non è definito (a causa della necessità talvolta di registrare un numero negativo). Potrebbero esserci dei risultati per un normale troncato, ma è probabile che siano disordinati.

— Martin O'Leary,

rocksportrocker, come sottolinea @Martin O'Leary, non è matematicamente possibile avere una tale variabile

X

$X$ , perché

\log (a)

$\log(a)$ non è definito per valori negativi. Come minimo è necessario troncare a

a

$a$ valore non negativo. Ci può dire perché si crede

a

$a$ potrebbe essere normale?

— whuber

Se consideriamo "approssimazione" in senso abbastanza generale possiamo arrivare da qualche parte.

Non dobbiamo presumere che abbiamo una distribuzione normale effettiva, ma qualcosa che è approssimativamente normale, tranne che la densità non può essere diversa da zero in un quartiere di 0.

Quindi diciamo che è "approssimativamente normale" (e concentrati vicino al * media) in un senso che possiamo handwave via le preoccupazioni per avvicinarsi 0 (e il suo conseguente impatto sui momenti di , perché doesn 't' get down near 0 '), ma con gli stessi momenti di ordine basso della distribuzione normale specificata, potremmo usare le serie di Taylor per approssimare i momenti della variabile casuale trasformata . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Per alcune trasformazioni , ciò comporta l'espansione di come una serie di Taylor (pensa cui assume il ruolo di ' ' e assume il ruolo di " ") e quindi prendere le aspettative e quindi calcolare la varianza o l'attesa del quadrato dell'espansione (da cui è possibile ottenere la varianza). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Le aspettative e la varianza approssimative risultanti sono:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

e così (se non ho commesso errori), quando : $g() = \log()$

E [\log (un')] \approx l o g (μ_{un'}) - \frac{σ_{un'}^{2}}{2 μ_{un'}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (un')] \approx σ_{un'}^{2} / μ_{un'}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Perché questo sia una buona approssimazione in genere si desidera che la deviazione standard di essere piuttosto piccola rispetto alla media (basso coefficiente di variazione). $a$

— Glen_b - Ripristina Monica
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Poiché la serie Taylor per il registro ha un raggio di convergenza relativamente piccolo, si consiglia cautela nell'applicare queste approssimazioni.

— whuber

@whuber per un'espansione attorno alla media, penso che ciò corrisponderebbe al consiglio che la "deviazione standard di

dovrebbe essere piuttosto piccola rispetto alla media" con cui termina la mia risposta - se mi manca qualche ulteriore problema che tale consiglio non copre dovrei risolvere la mia risposta.

a

$a$

— Glen_b -Restate Monica

L'approssimazione per la media funziona abbastanza bene per

e quella per la varianza funziona abbastanza bene per

o giù di lì.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

In ogni caso, vale sicuramente la pena di essere chiari sul fatto che stiamo indirettamente facendo affidamento sulla convergenza di

(poiché

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Grazie anche per i valori espliciti suggeriti; semmai forse sono leggermente esagerato quando lo uso. Due commenti preziosi.

— Glen_b -Restate Monica