Ho una variabile casuale dove a è distribuito normalmente ( μ , σ 2 ) . Cosa posso dire di e ? Anche un'approssimazione sarebbe utile.
Ho una variabile casuale dove a è distribuito normalmente ( μ , σ 2 ) . Cosa posso dire di e ? Anche un'approssimazione sarebbe utile.
Risposte:
Se consideriamo "approssimazione" in senso abbastanza generale possiamo arrivare da qualche parte.
Non dobbiamo presumere che abbiamo una distribuzione normale effettiva, ma qualcosa che è approssimativamente normale, tranne che la densità non può essere diversa da zero in un quartiere di 0.
Quindi diciamo che è "approssimativamente normale" (e concentrati vicino al * media) in un senso che possiamo handwave via le preoccupazioni per un avvicinarsi 0 (e il suo conseguente impatto sui momenti di log ( una ) , perché un doesn 't' get down near 0 '), ma con gli stessi momenti di ordine basso della distribuzione normale specificata, potremmo usare le serie di Taylor per approssimare i momenti della variabile casuale trasformata .
Per alcune trasformazioni , ciò comporta l'espansione di g ( μ X + X - μ X ) come una serie di Taylor (pensa g ( x + h ) in cui μ X assume il ruolo di ' x ' e X - μ X assume il ruolo di " h ") e quindi prendere le aspettative e quindi calcolare la varianza o l'attesa del quadrato dell'espansione (da cui è possibile ottenere la varianza).
Le aspettative e la varianza approssimative risultanti sono:
e così (se non ho commesso errori), quando :
* Perché questo sia una buona approssimazione in genere si desidera che la deviazione standard di essere piuttosto piccola rispetto alla media (basso coefficiente di variazione).