Confronto tra AIC di un modello e la sua versione trasformata in registro

L'essenza della mia domanda è questa:

Sia $Y \in \mathbb{R}^n$ una variabile casuale normale multivariata con media $\mu$ e matrice di covarianza $\Sigma$ . Sia $Z := \log(Y)$ , cioè $Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$ . Come confrontare l'AIC di un modello adatto alle realizzazioni osservate di $Y$ rispetto a un modello adatto alle realizzazioni osservate di $Z$ ?

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La mia domanda iniziale e leggermente più lunga:

Sia $Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ una variabile casuale normale multivariata. Se voglio confrontare un modello adatto a $Y$ rispetto a un modello adatto al $\log(Y)$ , potrei esaminare le loro probabilità logaritmiche. Tuttavia, poiché questi modelli non sono nidificati, non posso confrontare direttamente le verosimiglianze (e cose come AIC, ecc.), Ma devo trasformarle.

So che se sono variabili casuali con pdf congiunto g ( x 1 , ... , x n ) e se Y i = t i ( X 1 , ... , X n ) per le trasformazioni one-to-one t io e i ∈ { 1 , ... , n } , quindi il pdf di Y 1 , ... $X_1,\ldots,X_n$$g(x_1,\ldots,x_n)$$Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$$t_i$$i \in \{1,\ldots,n\}$ è dato da f ( y 1 , … , y n ) = g ( t - 1 1 ( y ) , … , t - 1 n ( y ) ) det ( J ) dove J è il giacobino associato alla trasformazione.$Y_1,\ldots,Y_n$

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ $J$

Devo semplicemente usare la regola di trasformazione per confrontare

to l ( log ( Y ) ) = log ( n ∏ i = 1 ϕ ( log ( y i ) ; μ , Σ )

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

o c'è qualcos'altro che posso fare?

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[modifica] Hai dimenticato di posizionare i logaritmi nelle ultime due espressioni.

$Y$$Z$

Gli investigatori dovrebbero essere sicuri che tutte le ipotesi siano modellate utilizzando la stessa variabile di risposta (ad esempio, se l'intero insieme di modelli fosse basato su log (y), non si creerebbe alcun problema; è la miscelazione delle variabili di risposta che non è corretta).

Inoltre, per utilizzare i criteri AIC o BIC, i tuoi modelli non devono necessariamente essere nidificati (stesso riferimento, pagina 88, sezione 2.12.4 Modelli non annidati), e in realtà questo è uno dei vantaggi dell'utilizzo di BIC.

$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

Akaike, H. 1978. "Sulla probabilità di un modello di serie storiche", Journal of the Royal Statistical Society, Serie D (The Statistician), 27 (3/4), pp. 217–235.