Limiti di coda sulla norma euclidea per distribuzione uniforme su

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Ciò che sono noti limiti superiori su quanto spesso la norma euclidea di un elemento scelto uniformemente $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ sarà maggiore di una determinata soglia?

Sono principalmente interessato ai limiti che convergono esponenzialmente a zero quando $n$ è molto inferiore a $d$ .

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
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È facile rispondere a soglie

t \leq n

$t\le n$ stai solo calcolando i volumi di ipersferi - ma è più difficile stabilire per

t > n

$t \gt n$ . Sei in una di quelle situazioni?

— whuber

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avrei bisogno

t > n

$\: t > n \;\;$ .

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer,

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Non ho tempo di pubblicare una risposta dettagliata al momento, ma nel frattempo ecco un suggerimento: confronta

con una variabile casuale binomiale con la stessa media impiegando la tecnica standard associata a Chernoff. Ciò produrrà un limite della forma

per

e

appropriati forniti

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

che ha senso quando si pensa a quale sia la media della distanza euclidea quadrata. Spero che questo aiuti alcuni.

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— cardinale il

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Intuitivamente, dovrebbe essere ovvio che un punto le cui coordinate sono campionate a caso dalla distribuzione uniforme dovrebbe avere un piccolo modulo a causa della maledizione della dimensionalità. All'aumentare di , la probabilità che un punto campionato a caso dal volume della sfera dell'unità dimensionale abbia una distanza inferiore o uguale a dal centro è , che scende esponenzialmente velocemente. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Darò la versione completa della soluzione del cardinale.

Sia una copia indipendente di una distribuzione discreta e uniforme sugli interi . Chiaramente, , e si calcola facilmente che $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Ricordiamo che e che $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Pertanto, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

calcolo $\mathbb{E}[X_i^4]$

Sia $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Lo finirò domani, ma puoi vedere che questa variabile ha una media di circa , mentre meno dellafrazionedi punti ha distanze inferiori alla metà della distanza massima $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
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Se tutto seguono uniformi discrete indipendenti oltre , allora come ci sono valori tra cui scegliere e la loro media è 0, abbiamo per tutti : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

e $\mathbb{E}(X_i)= 0$

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Quindi se è la norma euclidea quadrata di vettore , e per l'indipendenza del : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

Da qui in poi potresti usare la disuguaglianza di Markov: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Questo limite aumenta con , il che è normale perché quando diventa più grande la norma euclidea diventa più grande rispetto a una soglia fissa . $d$ $d$ $a$

Ora se definisci come una norma quadrata "normalizzata" (che ha lo stesso valore atteso, non importa quanto grande ) ottieni: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Almeno questo limite non aumenta con , ma è ancora lungi dal risolvere la tua ricerca di un limite esponenzialmente decrescente! Mi chiedo se ciò possa essere dovuto alla debolezza della disuguaglianza di Markov ... $d$

Penso che dovresti chiarire la tua domanda, perché come affermato sopra la norma euclidea media dei tuoi vettori aumenta linearmente in , quindi è molto improbabile trovare un limite superiore per che sta diminuendo in con una soglia fissa . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— Jubo
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