Trovare la varianza dello stimatore per la massima probabilità per la distribuzione di Poisson

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Se sono iid distribuzioni di Poisson con il parametro ho scoperto che la stima della massima verosimiglianza è per i dati . Pertanto possiamo definire lo stimatore corrispondente La mia domanda è: come valuteresti la varianza di questo stimatore? $K_1, \dots, K_n$ $\beta$

\hat{β} (k_{1}, \dots, k_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k_{i}

$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$

k_{1}, \dots, k_{n}

$k_1, \dots, k_n$

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{i} .

$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$

In particolare, poiché ogni segue una distribuzione di Poisson con parametro So, dalle proprietà di Poisson, che la distribuzione seguirà una distribuzione di Poisson con parametro , ma cosa è la distribuzione di ? $K_i$ $\beta$ $\sum_{i=1}^n K_i$ $n \beta$ $T$

variance maximum-likelihood poisson-distribution

— user53076
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Non è necessaria la distribuzione di per determinare la sua varianza, ma solo le proprietà di base delle varianze.

T

$T$

— Glen_b -Restate Monica

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$T$ è distribuito ... come una variabile di Poisson ridimensionata da . Quindi la varianza di è . $n$ $T$ $1/n^2 \times n\beta$

— F. Tusell
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Ricorda che sempre. Ma, se gli sono indipendenti, qual è il valore di ? Questo è tutto ciò che serve per rispondere alla domanda.

V a r (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} V a r (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} C o v (X_{i} X_{j}),

$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$

X_{i}

$X_i$

C o v (X_{i} X_{j})

$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$

— zen
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