Metriche per matrici di covarianza: svantaggi e punti di forza

Quali sono le metriche "migliori" per le matrici di covarianza e perché? È chiaro per me che Frobenius ecc. Non sono appropriati, e anche le parametrizzazioni angolari hanno i loro problemi. Intuitivamente si potrebbe desiderare un compromesso tra questi due, ma vorrei anche sapere se ci sono altri aspetti da tenere a mente e forse standard ben consolidati.

Le metriche comuni presentano vari inconvenienti poiché non sono naturali per le matrici di covarianza, ad esempio spesso non penalizzano particolarmente le matrici non PSD o non si comportano bene nei ranghi wrt (considera due ellissoidi di covarianza ruotati di basso rango: mi piacerebbe lo stesso -rota la rotazione intermedia per avere distanze inferiori rispetto alla media per componente, che non è il caso di e forse Frobenius, correggimi qui). Anche la convessità non è sempre garantita. Sarebbe bello vedere questi e altri problemi risolti da una "buona" metrica. $L_1$

Ecco una buona discussione di alcuni problemi, un esempio di ottimizzazione della rete e uno di visione artificiale . Ed ecco una domanda simile per ottenere alcune altre metriche ma senza discussione.

covariance metric

— Quarzo
fonte

Qual è lo scopo della metrica che cerchi? Per cosa è inappropriata la metrica Frobenius?

— whuber

@whuber: vorrei avere una visione d'insieme in generale prima di imporre troppi vincoli. Il mio campo è la finanza quantistica in cui la maggior parte delle persone si attengono a Frobenius per semplicità. Le metriche comuni presentano vari inconvenienti poiché non sono naturali per le matrici di covarianza, ad esempio non penalizzano in particolare le matrici non PSD e non si comportano in modo corretto (si pensi a due ellissoidi di covarianza ruotati di basso rango: mi piacerebbe la rotazione intermedia dello stesso rango avere distanze inferiori rispetto alla media componentwise, che non è il caso di e forse Frobenius se non sbaglio). Aggiunti alcuni collegamenti.

L_{1}

$L_1$

— Quarzo,

In che modo l'ultima domanda a cui fai riferimento è "più limitata"? Dopotutto, tutte le matrici di covarianza sono simmetriche. Sembra essere un duplicato perfetto.

— whuber

Questa è una buona critica dell'altra domanda. Posso suggerirti di modificare la domanda (e il titolo) per riflettere il contenuto del tuo ultimo commento? Ciò lo distinguerà chiaramente dall'apparente duplicato e aiuterà gli intervistati a fornire risposte più appropriate. (E non preoccuparti di modificare la tua domanda: questo è previsto; il meta thread riguarda principalmente l' editing della comunità .)

— whuber

@kjetilbhalvorsen È una frase provocatoria! Potresti espandere in una risposta? O fornire un riferimento all'articolo?

— Sycorax dice di reintegrare Monica il

Risposte:

Beh, non penso che ci sia una buona metrica o "il modo migliore" per analizzare le matrici di Covarianza. L'analisi dovrebbe essere sempre allineata al tuo obiettivo. Diciamo che C è la mia matrice di covarianza. La diagonale contiene la varianza per ciascun parametro calcolato. Quindi, se sei interessato al significato dei parametri, trace (C) è un buon inizio poiché sono le tue prestazioni complessive.

Se traccia il tuo parametro e il loro significato puoi vedere qualcosa del genere:

x1 =  1.0 ±  0.1 
x2 = 10.0 ±  5.0
x3 =  5.0 ± 15.0 <-- non-significant parameter

Se sei interessato alla loro reciproca correlazione, una tabella del genere potrebbe produrre qualcosa di interessante:

x1  1.0
x2  0.9  1.0
x3 -0.3 -0.1  1.0
    x1    x2   x3

Ogni elemento è il coefficiente di correlazione tra il parametro xi e xj. Dall'esempio è visibile che i parametri x1 e x2 sono altamente correlati.

— Nali
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Domanda interessante, sto affrontando lo stesso problema al momento! Dipende da come definisci "migliore", cioè stai cercando un singolo valore medio per lo spread, o per la correlazione tra i dati, ecc. Ho trovato in Press, SJ (1972): Applied Multivariate Analysis, p. 108 che la varianza generalizzata, definita come determinante della matrice di covarianza, è utile come singola misura per la diffusione. Ma se è la correlazione che stai cercando, dovrò pensare di più. Fammi sapere.

— Lucozade
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Riferimento per favore.

— Nick Cox,