ANOVA ipotesi normalità / distribuzione normale dei residui

La pagina Wikipedia su ANOVA elenca tre ipotesi , vale a dire:

• Indipendenza dei casi - questa è un'ipotesi del modello che semplifica l'analisi statistica.
• Normalità: le distribuzioni dei residui sono normali.
• Uguaglianza (o "omogeneità") delle varianze, chiamata omoscedasticità ...

Il punto di interesse qui è il secondo presupposto. Diverse fonti elencano l'assunzione in modo diverso. Alcuni sostengono la normalità dei dati grezzi, altri sostengono i residui.

Vengono visualizzate diverse domande:

• la normalità e la normale distribuzione dei residui sono la stessa persona (in base alla voce di Wikipedia, direi che la normalità è una proprietà e non riguarda direttamente i residui (ma può essere una proprietà dei residui (testo profondamente annidato tra parentesi, strano)))?
• in caso contrario, quale ipotesi dovrebbe valere? Uno? Entrambi?
• se l'assunzione di residui normalmente distribuiti è quella giusta, stiamo commettendo un grave errore controllando solo l'istogramma dei valori grezzi per la normalità?

Supponiamo che questo sia un modello a effetti fissi . (Il consiglio non cambia davvero per i modelli a effetti casuali, diventa solo un po 'più complicato.)

1. No, la normalità e la normale distribuzione dei residui non sono le stesse . Supponiamo di aver misurato la resa da una coltura con e senza un'applicazione di fertilizzante. Nelle trame senza fertilizzante la resa variava da 70 a 130. In due trame con fertilizzante la resa variava da 470 a 530. La distribuzione dei risultati è fortemente non normale: è raggruppata in due punti relativi all'applicazione del fertilizzante. Supponiamo inoltre che i rendimenti medi siano rispettivamente 100 e 500. Quindi tutti i residui vanno da -30 a +30. Potrebbero (o non potrebbero) essere normalmente distribuiti, ma ovviamente questa è una distribuzione completamente diversa.

2. La distribuzione dei residui è importante , perché riflettono la parte casuale del modello. Si noti inoltre che i valori p sono calcolati dalle statistiche F (o t) e che dipendono dai residui, non dai valori originali.

3. Se ci sono effetti significativi ed importanti nei dati (come in questo esempio), allora si potrebbe essere fare un errore "grave" . Per fortuna, potresti prendere la decisione corretta: cioè guardando i dati grezzi vedrai una miscela di distribuzioni e questo può sembrare normale (o no). Il punto è che ciò che stai cercando non è rilevante.

I residui di ANOVA non devono essere in alcun modo vicini al normale per adattarsi al modello. Tuttavia, la quasi normalità dei residui è essenziale affinché i valori p calcolati dalla distribuzione F siano significativi.

Lo standard ANOVA a senso unico classico può essere visto come un'estensione del classico "test T a 2 campioni" a un "test T a n campioni". Ciò può essere visto confrontando un ANOVA a una via con solo due gruppi al classico test T a 2 campioni.

Penso che il punto in cui ti stai confondendo sia che (secondo i presupposti del modello) i residui e i dati grezzi siano ENTRAMBE normalmente distribuiti. Tuttavia, i dati grezzi sono costituiti da distribuzioni normali con mezzi diversi (a meno che tutti gli effetti non siano esattamente gli stessi) ma con la stessa varianza. I residui invece hanno la stessa distribuzione normale . Questo deriva dal terzo presupposto dell'omoscedasticità.

$Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

$\epsilon_{ij}$

$Y_{ij}$

$p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$