È possibile applicare la normale procedura MLE alla distribuzione triangolare?
Certamente! Sebbene ci siano alcune stranezze da affrontare, in questo caso è possibile calcolare gli MLE.
Tuttavia, se per "la solita procedura" intendi "prendi i derivati della verosimiglianza e impostala uguale a zero", allora forse no.
Qual è la natura esatta dell'ostruzione a MLE qui (se effettivamente ce n'è uno)?
Hai provato a disegnare la probabilità?
-
Seguito dopo il chiarimento della domanda:
La domanda sul disegno della probabilità non era un commento inattivo, ma centrale nella questione.
L'MLE prevede l'assunzione di un derivato
No. MLE comporta la ricerca dell'argmax di una funzione. Ciò comporta solo la ricerca degli zeri di un derivato in determinate condizioni ... che non valgono qui. Nel migliore dei casi, se riesci a farlo, identificherai alcuni minimi locali .
Come suggerito dalla mia domanda precedente, guarda la probabilità.
y
0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924
0.5009028 0.8420312 0.2588613
c
Le linee grigie segnano i valori dei dati (probabilmente avrei dovuto generare un nuovo campione per ottenere una migliore separazione dei valori). I punti neri indicano la probabilità / probabilità logaritmica di tali valori.
Ecco uno zoom vicino al massimo della probabilità, per vedere più dettagli:
Come si può vedere dalla probabilità, in molte statistiche dell'ordine, la funzione di probabilità ha "angoli" acuti - punti in cui la derivata non esiste (il che non sorprende - il pdf originale ha un angolo e stiamo prendendo un prodotto di pdf). Questo (che ci sono cuspidi nelle statistiche dell'ordine) è il caso della distribuzione triangolare e il massimo si verifica sempre in una delle statistiche dell'ordine. (Che le cuspidi si verificano alle statistiche degli ordini non è univoco per le distribuzioni triangolari; ad esempio la densità di Laplace ha un angolo e di conseguenza la probabilità per il suo centro ne ha una per ogni statistica degli ordini.)
Come accade nel mio campione, il massimo si verifica come statistica del quarto ordine, 0,3780912
cc
Un utile riferimento è il capitolo 1 di " Beyond Beta " di Johan van Dorp e Samuel Kotz. Come capita, il capitolo 1 è un capitolo 'campione' gratuito per il libro: puoi scaricarlo qui .
C'è un delizioso piccolo articolo di Eddie Oliver su questo problema con la distribuzione triangolare, penso in American Statistician (il che rende sostanzialmente gli stessi punti; penso che fosse in un angolo degli insegnanti). Se riesco a trovarlo, lo darò come riferimento.
Modifica: eccolo:
EH Oliver (1972), A Maximum Likelihood Oddity,
The American Statistician , Vol 26, Issue 3, June, p43-44
( link del publisher )
Se riesci a prenderlo facilmente, vale la pena dare un'occhiata, ma quel capitolo di Dorp e Kotz copre la maggior parte delle questioni rilevanti, quindi non è cruciale.
A titolo di follow-up sulla domanda nei commenti, anche se potessi trovare un modo per 'appianare' gli angoli, dovresti comunque affrontare il fatto che puoi ottenere più massimi locali:
Tuttavia, potrebbe essere possibile trovare stimatori con proprietà molto buone (meglio del metodo dei momenti), che è possibile scrivere facilmente. Ma ML su triangolare su (0,1) è alcune righe di codice.
Se si tratta di enormi quantità di dati, anche questo può essere affrontato, ma sarebbe un'altra domanda, penso. Ad esempio, non tutti i punti dati possono essere massimi, il che riduce il lavoro e ci sono altri risparmi che possono essere fatti.