Come trovo i valori non indicati nelle tabelle statistiche (interpolate in)?

Spesso le persone usano i programmi per ottenere i valori p, ma a volte - per qualsiasi motivo - potrebbe essere necessario ottenere un valore critico da un set di tabelle.

Data una tabella statistica con un numero limitato di livelli di significatività e un numero limitato di gradi di libertà, come posso ottenere valori critici approssimativi ad altri livelli di significatività o gradi di libertà (come con le tabelle $t$ , chi-quadro o $F$ ) ?

Cioè, come trovo i valori "tra" i valori in una tabella?

— Glen_b - Ripristina Monica
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Questa risposta è in due parti principali: in primo luogo, utilizzando l'interpolazione lineare , e in secondo luogo, utilizzando le trasformazioni per un'interpolazione più accurata. Gli approcci discussi qui sono adatti per il calcolo manuale quando hai a disposizione tabelle limitate, ma se stai implementando una routine informatica per produrre valori p, ci sono approcci molto migliori (se noiosi quando fatti a mano) che dovrebbero essere usati invece.

Se sapessi che il valore critico del 10% (una coda) per un test z era 1,28 e il valore critico del 20% era 0,84, un'ipotesi approssimativa al valore critico del 15% sarebbe a metà strada tra - (1,28 + 0,84) / 2 = 1,06 (il valore effettivo è 1,0364) e il valore del 12,5% potrebbe essere indovinato a metà tra quello e il valore del 10% (1,28 + 1,06) / 2 = 1,17 (valore reale 1,15+). Questo è esattamente ciò che fa l'interpolazione lineare, ma anziché "a metà strada", osserva qualsiasi frazione del percorso tra due valori.

Interpolazione lineare univariata

Diamo un'occhiata al caso della semplice interpolazione lineare.

Quindi abbiamo una funzione (diciamo di $x$ ) che riteniamo approssimativamente lineare vicino al valore che stiamo cercando di approssimare, e abbiamo un valore della funzione su entrambi i lati del valore che vogliamo, ad esempio, in questo modo:

\begin{array}{cc} x & y \\ 8 & 9.3 \\ 16 & y_{16} \\ 20 & 15.6 \end{array}

$\begin{array}{ c c } x & y\\ 8 & 9.3\\ 16 & y_{16}\\ 20 & 15.6\\ \end{array}$

I due valori cui sappiamo sono a distanza di 12 (20-8). Vedi come il valore (quello per cui vogliamo un valore approssimativo ) divide quella differenza di 12 in su nel rapporto 8: 4 (16-8 e 20-16)? Cioè, è 2/3 della distanza dal primo valore all'ultimo. Se la relazione fosse lineare, l'intervallo corrispondente di valori y sarebbe nello stesso rapporto. $x$ $y$ $x$ $y$ $x$

interpolazione lineare

Quindi dovrebbero essere circa gli stessi di $\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3}$ . $\frac{16-8}{20-8}$

Questo è $\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3} \approx \frac{16-8}{20-8}$

riordinando:

$y_{16} \approx 9.3 + (15.6 - 9.3) \frac{16-8}{20-8} = 13.5$

Un esempio con tabelle statistiche: se abbiamo una tabella t con i seguenti valori critici per 12 df:

\begin{array}{cc} (2 -tail) \\ α & t \\ 0.01 & 3.05 \\ 0.02 & 2.68 \\ 0.05 & 2.18 \\ 0.10 & 1.78 \end{array}

$\begin{array}{ c c } (2\text{-tail})& \\ α & t\\ 0.01 & 3.05\\ 0.02 & 2.68\\ 0.05 & 2.18\\ 0.10 & 1.78 \end{array}$

Vogliamo il valore critico di t con 12 df e un alfa a due code di 0,025. Cioè, interpoliamo tra la riga 0,02 e 0,05 di quella tabella:

\begin{array}{cc} α & t \\ 0.02 & 2.68 \\ 0.025 & ? \\ 0.05 & 2.18 \end{array}

$\begin{array}{ c c } α & t\\ 0.02 & 2.68\\ 0.025 & \text{?}\\ 0.05 & 2.18\\ \end{array}$

Il valore su " " È il valore che vogliamo usare per l'interpolazione lineare. (Per intendo effettivamente il punto del cdf inverso di una distribuzione ). $\text{?}$ $t_{0.025}$ $t_{0.025}$ $1-0.025/2$ $t_{12}$

Come in precedenza, divide l'intervallo da a nel rapporto a (cioè ) e il valore sconosciuto dovrebbe dividere l' intervallo da a nello stesso rapporto; equivalentemente, si verifica $0.025$ $0.02$ $0.05$ $(0.025-0.02)$ $(0.05-0.025)$ $1:5$ $t$ $t$ $2.68$ $2.18$ $0.025$ th della strada lungo il -range, in modo sconosciuto -value dovrebbe verificarsi ° della strada lungo il -range. $(0.025-0.02)/(0.05-0.02) = 1/6$ $x$ $t$ $1/6$ $t$

Quello è o equivalenti $\frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} \approx \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02}$

$t_{0.025} \approx 2.68 + (2.18-2.68) \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02} = 2.68 - 0.5 \frac{1}{6} \approx 2.60$

$2.56$ $\alpha = 0.5$

linear interpolation of critical value in t-tables

Migliori approssimazioni tramite trasformazione

$\log$ $\log$

\begin{array}{cc} α & \log (α) & t \\ 0.02 & - 3.912 & 2.68 \\ 0.025 & - 3.689 & t_{0.025} \\ 0.05 & - 2.996 & 2.18 \end{array}

$\begin{array}{ c c } α & \log(α)& t\\ 0.02 & -3.912 & 2.68\\ 0.025& -3.689 & t_{0.025}\\ 0.05 & -2.996 & 2.18\\ \end{array}$

Adesso

\begin{array}{rcl} \frac{t_{0.025} - 2.68}{2.18 - 2.68} & \approx & \frac{\log (0.025) - \log (0.02)}{\log (0.05) - \log (0.02)} \\ = & \frac{- 3.689 - - 3.912}{- 2.996 - - 3.912} \end{array}

$\begin{eqnarray} \frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} &\approx& \frac{\log(0.025)-\log(0.02)}{\log(0.05)-\log(0.02)} \\ &=& \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ \end{eqnarray}$

o equivalentemente

\begin{array}{rcl} t_{0.025} & \approx & 2.68 + (2.18 - 2.68) \frac{- 3.689 - - 3.912}{- 2.996 - - 3.912} \\ = & 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{array}

$\begin{eqnarray} t_{0.025} &\approx& 2.68 + (2.18-2.68) \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ &=& 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{eqnarray}$

Che è corretto per il numero di cifre indicato. Questo perché - quando trasformiamo logaritmicamente la scala x - la relazione è quasi lineare:

linear interpolation in log alpha
Infatti, visivamente la curva (grigia) si trova ordinatamente in cima alla linea retta (blu).

In alcuni casi, il logit del livello di significatività ( $\text{logit}(\alpha)=\log(\frac{α}{1-α})=\log(\frac{1}{1-α}-1)$ $\alpha$ $\log$

Interpolazione tra diversi gradi di libertà

$t$ $F$ $\nu$ $^\dagger$ $1/\nu$

$120/\nu$ $120/\nu$

$F_{4,\nu}$ $\nu = 60$ $120$ $1/\nu$ $\nu=80$ $F$

F_{4, 80, .95} \approx F_{4, 60, .95} + \frac{1 / 80 - 1 / 60}{1 / 120 - 1 / 60} \cdot (F_{4, 120, .95} - F_{4, 60, .95})

$F_{4,80,.95} \approx F_{4,60,.95} + \frac{1/80 - 1/60}{1/120 - 1/60} \cdot (F_{4,120,.95}-F_{4,60,.95})$

inverse interp in df

(Confronta con il diagramma qui )

$^\dagger$

Ecco un pezzo di un tavolo chi quadrato

            Probability less than the critical value
 df           0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
______   __________________________________________________

 40         51.805    55.758    59.342    63.691    73.402
 50         63.167    67.505    71.420    76.154    86.661
 60         74.397    79.082    83.298    88.379    99.607
 70         85.527    90.531    95.023   100.425   112.317

Immagina di voler trovare il valore critico del 5% (95 ° percentile) per 57 gradi di libertà.

Osservando da vicino, vediamo che i valori critici del 5% nella tabella procedono quasi linearmente qui:

(la linea verde unisce i valori di 50 e 60 df; puoi vedere che tocca i punti per 40 e 70)

Quindi l'interpolazione lineare farà molto bene. Ma ovviamente non abbiamo tempo per disegnare il grafico; come decidere quando utilizzare l'interpolazione lineare e quando provare qualcosa di più complicato?

$(x_{50,0.95}+x_{70,0.95})/2$ $x_{60,0.95}$ ?

$(67.505+90.531)/2 = 79.018$

$\frac{x-67.505}{79.082-67.505} \approx {57-50}{60-50}$

$x\approx 67.505+(79.082-67.505)\cdot {57-50}{60-50}\approx 75.61$

Il valore effettivo è 75.62375, quindi abbiamo effettivamente ottenuto 3 cifre di precisione e siamo rimasti fuori solo da 1 nella quarta cifra.

Un'interpolazione più accurata può ancora essere ottenuta utilizzando metodi di differenze finite (in particolare, mediante differenze divise), ma questo è probabilmente eccessivo per la maggior parte dei problemi di verifica delle ipotesi.

Se i tuoi gradi di libertà superano le estremità del tuo tavolo, questa domanda discute quel problema.

— Glen_b - Ripristina Monica
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