Estrarre punti dati dalla media mobile?

È possibile estrarre punti dati dallo spostamento di dati medi?

In altre parole, se un insieme di dati ha solo medie mobili semplici dei precedenti 30 punti, è possibile estrarre i punti dati originali?

Se é cosi, come?

+1 alla risposta di fabee, che è completa. Solo una nota per tradurlo in R, in base ai pacchetti che ho trovato per fare le operazioni a portata di mano. Nel mio caso, avevo dati che sono previsioni di temperatura NOAA su base trimestrale: gennaio-febbraio-marzo, febbraio-marzo-aprile, marzo-aprile-maggio, ecc. E volevo dividerli in (approssimativo) valori mensili, supponendo che la temperatura di ciascun periodo di tre mesi sia essenzialmente una media.

library (Matrix)
library (matrixcalc)

# Feb-Mar-Apr through Nov-Dec-Jan temperature forecasts:

qtemps <- c(46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2)

# Thus I need a 10x12 matrix, which is a band matrix but with the first
# and last rows removed so that each row contains 3 1's, for three months.
# Yeah, the as.matrix and all is a bit obfuscated, but the results of
# band are not what svd.inverse wants.

a <- as.matrix (band (matrix (1, nrow=12, ncol=12), -1, 1)[-c(1, 12),])
ai <- svd.inverse (a)

mtemps <- t(qtemps) %*% t(ai) * 3

Il che funziona benissimo per me. Grazie @fabee.

EDIT: OK, ri-traducendo la mia R in Python, ottengo:

from numpy import *
from numpy.linalg import *

qtemps = transpose ([[46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2]])

a = tril (ones ((12, 12)), 2) - tril (ones ((12, 12)), -1)
a = a[0:10,:]

ai = pinv (a)

mtemps = dot (ai, qtemps) * 3

(Il cui debug ha richiesto molto più tempo rispetto alla versione R. Prima perché non ho familiarità con Python come con R, ma anche perché R è molto più utilizzabile in modo interattivo.)

$\mathbf x$$n=2000$$\ell=30$$\mathbf y = A\mathbf x$$\mathbf x$

$30$$30$$\mathbf y$$1970$$2000$

$x_1,...,x_{2000}$$y_1$$y_2$

$x_1,...,x_n$$\mathbf x$$\mathbf y$$\mathbf x$

$A$$30$$30$$A$$A$

$A^\dagger$$A$$\mathbf z = A^\dagger\mathbf y$$\mathbf x$$\mathbf y$$A\mathbf z$

$2000$$\mathbf x$

Molti programmi numerici offrono pseudo-inverse (ad esempio Matlab, numpy in python, ecc.).

Ecco il codice Python per generare i segnali dal mio esempio:

from numpy import *
from numpy.linalg import *
from matplotlib.pyplot import *
# get A and its inverse     
A = (tril(ones((2000,2000)),-1) - tril(ones((2000,2000)),-31))/30.
A = A[30:,:]
pA = pinv(A) #pseudo inverse

# get x
x = random.randn(2000) + 5
y = dot(A,x)

# reconstruct
x2 = dot(pA,y)

plot(x,label='original x')
plot(y,label='averaged x')
plot(x2,label='reconstructed x')
legend()
show()

Spero possa aiutare.