Comprensione della varianza degli effetti casuali nei modelli lmer ()

Ho difficoltà a comprendere l'output del mio lmer()modello. È un semplice modello di una variabile di risultato (supporto) con intercettazioni di stato / effetti casuali di stato variabili:

mlm1 <- lmer(Support ~ (1 | State))

I risultati di summary(mlm1)sono:

Linear mixed model fit by REML 
Formula: Support ~ (1 | State) 
   AIC   BIC logLik deviance REMLdev
 12088 12107  -6041    12076   12082
Random effects:
 Groups   Name        Variance  Std.Dev.
 State    (Intercept) 0.0063695 0.079809
 Residual             1.1114756 1.054265
Number of obs: 4097, groups: State, 48

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  0.13218    0.02159   6.123

Immagino che la varianza delle intercettazioni statali variabili / effetti casuali sia 0.0063695 . Ma quando estraggo il vettore di questi effetti casuali stato e calcolo la varianza

var(ranef(mlm1)$State)

Il risultato è: 0.001800869 considerevolmente più piccolo della varianza riportata da summary().

Per quanto ho capito, il modello che ho specificato può essere scritto:

$y_i = \alpha_0 + \alpha_s + \epsilon_i, \text{ for } i = \{1, 2, ..., 4097\}$

$\alpha_s \sim N(0, \sigma^2_\alpha), \text{ for } s = \{1, 2, ..., 48\}$

Se questo è corretto, la varianza degli effetti casuali ( ) dovrebbe essere . Eppure questi non sono effettivamente equivalenti nella mia forma. $\alpha_s$ $\sigma^2_\alpha$ lmer()

r mixed-model random-effects-model lme4-nlme

— nomad545
fonte

Hai qualche conoscenza sul modo in cui i parametri sono stimati lmer()? Sembra che si postulato che

è stimato dalla varianza empirica degli effetti casuali stima

. La descrizione del modello non è chiaro (perharps

dovrei essere

). È un design equilibrato?

σ_{α}^{2}

$\sigma^2_\alpha$

{\hat{α}}_{s}

$\hat\alpha_s$

y_{i}

$y_i$

y_{i s}

$y_{is}$

— Stéphane Laurent,

Ecco una domanda molto simile, con una risposta in qualche modo diversa

— Arne Jonas Warnke l'

Questo è un classico anova a senso unico. Una risposta molto breve alla tua domanda è che il componente varianza è composto da due termini.

{\hat{σ}}_{α}^{2} = E [\frac{1}{48} Σ_{S = 1}^{48} α_{S}^{2}] = \frac{1}{48} Σ_{S = 1}^{48} {\hat{α}}_{S}^{2} + \frac{1}{48} Σ_{S = 1}^{48} v un' r ({\hat{α}}_{S})

$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=E\left[\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48} \alpha_s^2\right]= \frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}\hat{ \alpha }_s^2 +\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}var(\hat{ \alpha }_s)$

Quindi il termine che hai calcolato è il primo termine di rhs (poiché gli effetti casuali hanno zero medio). Il secondo termine dipende dall'utilizzo del REML di ML e dalla somma degli errori quadrati standard dei tuoi effetti casuali.

— probabilityislogic
fonte

Ok capito! Quindi, la somma dei SE quadrati delle RE - 1/48 * sum((se.ranef(mlm1)$State)^2)- è 0.004557198. La varianza delle stime puntuali delle RE (ottenute, come sopra, usando var(ranef(mlm1)$State)) è 0.001800869. La somma è 0.006358067, che è la varianza riportata utilizzando summary()sul lmer()modello sopra, almeno 4 o 5 cifre. Mille grazie @probability

— nomad545

Per coloro che cercano questa risposta e il commento di aiuto, nota che nomad545 ha anche fatto uso del armpacchetto R per la se.ranef()funzione.

— ndoogan,

@probabilityislogic: Can you provide some more detail how that equation was calculated? Specifically, how was the second equality achieved? Also, shoudn't there be a hat on the alpha after the first equality?

— user1357015

@user1357015 - one way to see this is to look at the gradient of the (marginal) log likelihood after integrating out the random effects. That is, differentiate the likelihood

Y \sim N o r m a l (1_{n} α_{0}, Σ)

$Y\sim Normal (1_n\alpha_0,\Sigma)$ where

Σ = I_{n} σ_{e}^{2} + σ_{α}^{2} Z Z^{T}

$\Sigma=I_n\sigma^2_e+\sigma^2_{\alpha} ZZ^T$ is the "unconditional" variance of Y. If you do this (plus using some manipulations) you get the above equality. The second equality follows because

E (α_{s}) = 0

$E (\alpha_s)=0$ (under the model) meaning

v a r (α_{s}) = E (α_{s}^{2})

$var (\alpha_s)=E (\alpha_s^2)$

— probabilityislogic