La distribuzione ha un nome?

Ho incontrato questa densità l'altro giorno. Qualcuno gli ha dato un nome?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

La densità è infinita all'origine e ha anche code grasse. L'ho visto usato come una distribuzione precedente in un contesto in cui ci si aspettava che molte osservazioni fossero piccole, anche se ci si aspettava anche grandi valori.

distributions probability

— John D. Cook
fonte

per curiosità, hai una citazione per la fonte in cui l'hai vista in origine?

— JMS,

JMS: "Lo stimatore a ferro di cavallo per segnali sparsi" di Carvalho, Polson e Scott. L'ho visto come una prestampa, ma potrebbe essere stato pubblicato su Biometrika ormai. Non usano esattamente questo precedente, ma la densità sopra è un'approssimazione a un caso speciale del loro precedente.

— John D. Cook,

È stato pubblicato: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— fabians,

Quale caso speciale stai approssimando? L'ho letto, ma non riesco davvero a mettere in relazione la tua espressione con le espressioni fornite nel documento ...?

— fabians,

@fabians: Il caso che avevo in mente era sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 nel Teorema 1. Dice che la densità del ferro di cavallo è delimitata sopra e sotto da multipli di log (1 + c / x ^ 2). Quindi forse la distribuzione che ho menzionato sopra è più una semplificazione della densità del ferro di cavallo che un'approssimazione.

— John D. Cook,

Risposte:

Anzi, anche il primo momento non esiste. Il CDF di questa distribuzione è dato da

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

per e, per simmetria, per . Né questo né nessuna delle ovvie trasformazioni mi sembrano familiari. (Il fatto che possiamo ottenere una forma chiusa per il CDF in termini di funzioni elementari limita già fortemente le possibilità, ma la natura alquanto oscura e complicata di questa forma chiusa esclude rapidamente distribuzioni standard o trasformazioni di potenza / log / esponenziali / trig di L 'arctangent è, ovviamente, il CDF di una distribuzione di Cauchy (Student ), esibendo questo CDF come una versione (sostanzialmente) perturbata della distribuzione di Cauchy, mostrata come trattini rossi.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— whuber
fonte

@whuber, nota che , che mette in relazione la forma del cdf più vicina a quella del pdf . È anche interessante notare che questo pdf è asintotico a metà del pdf di un Cauchy standard. Quindi, il motivo principale del suo uso sembra essere dovuto al suo comportamento intorno allo 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— cardinale

@whuber, anche se penso di vedere da dove vieni riguardo alla tua affermazione sui cdf che hanno forme chiuse (suggerimento: Louiville), raccomanderei cautela con questa osservazione. La stessa distribuzione di Cauchy è un "controesempio" sotto questo aspetto.

— cardinale il

@cardinale Non capisco il punto della tua osservazione sulla distribuzione di Cauchy. Sto solo usando la forma del CDF come euristica per restringere le ricerche e come obiettivo per le ricerche. Il CDF è un po 'più conveniente del PDF perché è più facile vedere come cambierà quando la variabile viene trasformata. E sì, la relazione che hai notato è chiara, ma ho scelto di scrivere il CDF in questa forma a causa della presenza dell'arctangente nell'altro termine (che suggerisce la sostituzione x = tan (u)).

— whuber

@whuber, beh forse avrei fatto meglio a chiedere chiarimenti piuttosto che assumere. Qual è stato il tuo punto di vista riguardo al tuo commento secondo cui un cdf in forma chiusa limita fortemente le possibilità?

— cardinale il

@cardinale Sto eseguendo una vasta ricerca nel senso di trovare una distribuzione (o finora studiata) con nome e una reespressione relativamente semplice (come un potere o un logaritmo ecc.) tale che abbia cdf iff ha pdf . Se una distribuzione è stata studiata in precedenza, è molto probabile che sia stato ottenuto il suo CDF e, se può essere scritto in forma chiusa, anche quel modulo è stato pubblicato. Quindi dobbiamo solo cercare le forme funzionali che assomigliano a con . Conosci qualcuno?

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— whuber

Forse no.

Non sono riuscito a trovarlo in questo elenco abbastanza ampio di distribuzioni:

Relazioni di distribuzione univariata di Leemis e McQuestion 2008. Statistico americano 62 (1) 45:53

— Abe
fonte