Perché il teorema di Bayes funziona graficamente?

Da un punto di vista matematico il teorema di Bayes ha perfettamente senso per me (cioè derivare e provare), ma ciò che non so è se esiste o meno un bel argomento geometrico o grafico che può essere mostrato per spiegare il teorema di Bayes. Ho provato a cercare su Google una risposta a questo e sorprendentemente non sono riuscito a trovarlo.

Fondamentalmente basta disegnare un diagramma di Venn di due cerchi sovrapposti che dovrebbero rappresentare serie di eventi. Chiamali A e B. Ora l'intersezione dei due è P (A, B) che può essere letta probabilità di A AND B. Secondo le regole di base della probabilità, P (A, B) = P (A | B) P (B). E poiché non c'è nulla di speciale in A rispetto a B, deve anche essere P (B | A) P (A). Paragonare questi due ti dà il teorema di Bayes.

Il teorema di Bayes è davvero abbastanza semplice. Le statistiche bayesiane sono più difficili a causa di due motivi. Uno è che ci vuole un po 'di astrazione per passare dal parlare di ruoli casuali di dadi alla probabilità che qualche fatto sia vero. Ha richiesto di avere un effetto precedente e questo effetto precedente la probabilità posteriore che si ottiene alla fine. E quando devi emarginare molti parametri lungo il percorso, è più difficile vedere esattamente come viene influenzato.

Alcuni trovano che questo sembra un po 'circolare. Ma davvero, non c'è modo di aggirarlo. I dati analizzati con un modello non ti portano direttamente alla Verità. Niente fa. Ti consente semplicemente di aggiornare le tue convinzioni in modo coerente.

L'altra cosa difficile delle statistiche bayesiane è che i calcoli diventano piuttosto difficili, tranne che per problemi semplici ed è per questo che tutta la matematica viene coinvolta per affrontarla. Dobbiamo sfruttare ogni simmetria possibile per facilitare i calcoli oppure ricorrere alle simulazioni Monte Carlo.

Quindi le statistiche bayesiane sono difficili ma il teorema di Bayes non è affatto difficile. Non pensarci troppo! Deriva direttamente dal fatto che l'operatore "AND", in un contesto probabilistico, è simmetrico. A AND B è uguale a B AND A e tutti sembrano capirlo intuitivamente.

Un argomento fisico per spiegarlo fu molto chiaramente rappresentato da Galton in un quinconce a due stadi alla fine del 1800, s.

Vedi figura 5 in Stigler, Stephen M. 2010. Darwin, Galton e l'illuminazione statistica. Giornale della Royal Statistical Society: Serie A 173 (3): 469-482.

Ne ho un'animazione rudimentale qui (richiede un adeguato supporto pdf per funzionare).

L'ho anche trasformato in un'allegoria di un'arancia che cade sulla testa di Galton che proverò a caricare in futuro.

O forse potresti preferire l'immagine di rifiuto ABC qui .

Un esercizio basato su di esso è qui .

Questo articolo su Medium del 10 gennaio 2020 spiega con una sola foto! Presumilo

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