L'applicazione di ARMA-GARCH richiede stazionarietà?

14

Userò il modello ARMA-GARCH per le serie temporali finanziarie e mi chiedevo se le serie dovessero essere stazionarie prima di applicare il modello in questione. So di applicare il modello ARMA, la serie dovrebbe essere stazionaria, tuttavia non sono sicuro per ARMA-GARCH poiché includo errori GARCH che implicano cluster di volatilità e varianza non costante e quindi serie non stazionarie, indipendentemente dalla trasformazione che faccio .

Le serie temporali finanziarie sono generalmente stazionarie o non stazionarie? Ho provato ad applicare il test ADF su alcune serie volatili e ho ottenuto un valore p <0,01 che sembra indicare la stazionarietà, ma il principio stesso delle serie volatili ci dice che la serie non è stazionaria.

Qualcuno può chiarire questo per me? Sto diventando davvero confuso

time-series finance arma

— ANKC
fonte

11

Copia dall'estratto del documento originale di Engle :
"Questi sono media zero, processi seriali non correlati con varianze non costanti condizionate al passato, ma variazioni costanti incondizionate. Per tali processi, il passato recente fornisce informazioni sulla varianza delle previsioni a un periodo".

Continuando con i riferimenti, come mostra l'autore che ha introdotto GARCH (Bollerslev, Tim (1986). " Eteroschedasticità condizionale autoregressiva generalizzata ", Journal of Econometrics, 31: 307-327) per il processo GARCH (1,1), è sufficiente che per stazionarietà del 2 ° ordine. $\alpha_1 + \beta_1 <1$

La stazionarietà (quella necessaria per le procedure di stima), è definita in relazione alla distribuzione e ai momenti incondizionati .

ADDENDUM
Per riassumere qui la discussione nei commenti, l'approccio alla modellazione GARCH è un modo ingegnoso per modellare la sospetta eteroschedasticità nel tempo, cioè di una qualche forma di eterogeneità del processo (che renderebbe il processo non stazionario) come una caratteristica osservata che deriva da l'esistenza della memoria del processo, inducendo essenzialmente la stazionarietà a livello incondizionato.

In altre parole, abbiamo preso i nostri due "grandi avversari" nell'analisi del processo stocastica (eterogeneità e memoria), e abbiamo usato l'uno per neutralizzare l'altro - e questa è davvero una strategia ispirata.

— Alecos Papadopoulos
fonte

1

Non sono sicuro di come questo risponda alla mia domanda? Puoi spiegare? È possibile che una serie volatile sia definita come stazionaria?

— ankc,

Se una serie temporale mostra un cluster di volatilità non significa che le serie in non stazionario e GARCH non possono essere applicate ad essa (se non è stazionaria)?

— ankc,

2

Suppongo che per "raggruppamento di volatilità" intendi che le serie temporali sono caratterizzate da una varianza diversa a intervalli diversi. Innanzitutto, questa è solo un'indicazione di una possibile non stazionarietà, non di una prova. In secondo luogo, il modello ARCH e le sue estensioni tentano di spiegare questo "raggruppamento di volatilità" modellando il condizionale varianza come mutevole nel tempo, mantenendo al contempo l'assunzione di una varianza incondizionata costante (e quindi l'assunzione della stazionarietà del 2 ° ordine).

— Alecos Papadopoulos,

Bene supponiamo che esista davvero un clustering di volatilità. La serie stessa non sarebbe stazionaria, quindi come posso applicare un modello GARCH a una serie non stazionaria come mpiktas ha detto che GARCH dovrebbe essere applicato a serie stazionarie.

— ankc,

No, il clustering della volatilità non implica necessariamente non stazionarietà. Quindi, se può essere "spiegato" dalla modellazione GARCH, allora puoi operare sul presupposto della stazionarietà incondizionata. In effetti, questo sembra un po 'circolare - ma poi, non possiamo quasi mai essere sicuri che un processo stocastico osservato effettivo sia o non sia fermo.

— Alecos Papadopoulos,

6

Sì, la serie dovrebbe essere stazionaria. I modelli GARCH sono in realtà processi di rumore bianco con una struttura di dipendenza non banale. Il modello GARCH classico (1,1) è definito come

r_{t} = σ_{t} ε_{t},

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t,$

con

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2},

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2,$

$\varepsilon_t$

Poi

E r_{t} = E E (r_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_t=EE(r_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=E\sigma_tE(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

e

E r_{t} r_{t - h} = E E (r_{t} r_{t - h} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E r_{t - h} σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_tr_{t-h}=EE(r_tr_{t-h}|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=Er_{t-h}\sigma_{t}E(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

per $h>0$ . Quindi $r_t$ è un processo di rumore bianco. Tuttavia è possibile dimostrarlo $r_t^2$ è in realtà un $ARMA(1,1)$ processi. Quindi GARCH (1,1) è un processo stazionario, ma ha una varianza condizionale non costante.

— mpiktas
fonte

Come può una serie essere stazionaria se mostra volatilità? Come si definisce la stazionarietà quando si applica un modello GARCH?

— ankc,

Va bene se includo i termini AR e MA nella mia equazione media? Se le serie di ritorno mostrano una autocorrelazione a ritardi brevi.

— ankc,

Stazionaria significa media costante, varianza e correlazione che dipendono solo dal ritardo. I termini AR e MA possono essere inclusi nell'equazione media. La chiave nei processi GARCH è la volatilità condizionale. Si noti che la volatilità non è una varianza. La volatilità media è la varianza in serie.

— mpiktas,

Come riferimento, ad esempio, i dati SP500 in R, i dati di ritorno sembrano essere costanti nella sua media ma mostrano palese eteroschedasticità condizionale. Quindi è possibile applicare un modello GARCH su di esso nonostante abbia una varianza non costante?

— ankc,

di solito posso applicare il modello GARCH a qualsiasi serie di ritorno di registro che presenta cluster di volatilità? Lo sto chiedendo perché ho visto in una tesi che il test ADF è stato applicato per verificare la stazionarietà, quindi ho pensato che la stazionarietà fosse necessaria prima di applicare il modello GARCH .

— ankc,

2

Per chiunque si chieda ancora questa domanda, chiarirò: il clustering della volatilità non implica affatto che la serie non sia stazionaria. Suggerirebbe che esiste un regime di varianza condizionale mutevole, che può ancora soddisfare la costanza della distribuzione incondizionata.

Il modello GARCH (1,1) di Bollerslev non è debolmente fermo quando $\alpha_{1}+\beta>1$ , tuttavia è in realtà ancora fermamente fermo per una gamma molto più ampia, Nelson 1990. Ulteriori Rahbek e Jensen 2004 (inferenza asintotica nel GARCH non stazionario), hanno mostrato che lo stimatore ML di $\alpha_{1}$ e $\beta$ è coerente e asintoticamente normale per qualsiasi specifica di parametro che assicuri che il modello non sia stazionario. Combinando questo con i risultati di Nelson 1990 (tutti i modelli GARCH (1,1) stazionari deboli o rigorosi hanno uno stimatore MLE coerente e asintoticamente normale), suggerisce che qualsiasi combinazione di parametri di $\alpha_{1}$ e $\beta>1$ avrà stimatori coerenti e asintoticamente normali.

È importante notare tuttavia che se il modello GARCH (1,1) non è stazionario, il termine costante nella varianza condizionale non viene stimato in modo coerente.

Indipendentemente da ciò, ciò suggerisce che non devi preoccuparti della stazionarietà prima di stimare il modello GARCH. Tuttavia, devi chiederti se sembra avere una distribuzione simmetrica e se la serie ha un'elevata persistenza, poiché ciò non è consentito nel modello GARCH classico (1,1). Dopo aver stimato il modello, è interessante verificare se $\alpha_{1}+\beta=1$ se stai lavorando con periodi di crisi finanziaria, dal momento che ciò implicherebbe una varianza condizionale di tendenza che è difficile immaginare come una tendenza comportamentale tra gli investitori. Il test tuttavia può essere eseguito con un normale test LR.

La stazionarietà è abbastanza fraintesa, ed è solo parzialmente connessa al fatto che la varianza o la media stiano cambiando a livello internazionale - poiché ciò può ancora oscurare mentre il processo mantiene una distribuzione incondizionata costante. Il motivo per cui si potrebbe pensare che i cambiamenti apparenti nella varianza possano causare una deviazione dalla stazionarietà, è perché una cosa come un cambiamento di livello permanente nell'equazione della varianza (o l'equazione media) avrebbe per definizione spezzato la stazionarietà. Ma se i cambiamenti sono causati dalle specifiche dinamiche del modello, potrebbe essere ancora fermo anche se la media è impossibile da identificare e la volatilità cambia costantemente. Un altro bellissimo esempio di questo è il modello DAR (1,1) introdotto da Ling nel 2002.

— Lovecraft
fonte

1

Buona risposta! DAR (1,1) standard per ARIMA (1,1,0)? Altrimenti cos'è e perché non hai affrontato i modelli ARIMA non stazionari?

— Michael R. Chernick,

1

La stazionarietà è un concetto teorico che viene poi modificato in altre forme come la debolezza del senso debole che può essere testato facilmente. La maggior parte dei test come adf test come hai menzionato test solo per condizioni lineari. gli effetti ARCH sono realizzati per le serie che non hanno autocorrelazione nel primo ordine ma c'è una dipendenza nelle serie quadrate.

Il processo ARMA-GARCH di cui parli, qui la dipendenza del secondo ordine viene rimossa usando la parte GARCH e quindi qualsiasi dipendenza nei termini lineari viene catturata dal processo ARMA.

Il modo per procedere è verificare l'autocorrelazione delle serie quadrate, se c'è dipendenza, quindi applicare i modelli GARCH e verificare i residui per eventuali proprietà lineari delle serie temporali che possono quindi essere modellate utilizzando i processi ARMA.

— htrahdis
fonte

1

Stavo pensando di montare prima l'ARMA, quindi adattando i residui a un modello GARCH. È sbagliato? Come posso "controllare i residui per eventuali proprietà di serie temporali lineari che possono quindi essere modellate usando i processi ARMA"? Il test ljung-box può essere usato per rilevare l'effetto ARCH?

— ankc,

il modo più semplice è cercare la funzione di correlazione automatica delle serie quadrate. se è significativo, prova il modello GARCH. se viene rimossa l'autocorrelazione del quadrato dei residui, GARCH aiuta a modellare la dipendenza nelle serie quadrate.

— htrahdis,

Se lo faccio, il mio ritorno medio sarà 0 giusto? Voglio essere in grado di ottenere una media che non sarà una linea retta, come una funzione media che dipenderà dai termini AR e MA + l'errore GARCH.

— ankc,

ci sono tre cose: una è la decisione se sono presenti effetti GARCH, l'altra è una giustificazione dell'uso di ARMA e GARCH e il terzo è di adattarsi effettivamente al modello quando i due precedenti sono affermativi. il montaggio non è così semplice come farlo in due diverse fasi. devi adattare contemporaneamente le parti ARMA e GARCH. Ci sono metodi disponibili per questo.

— htrahdis,

L'uso di ARMA sarebbe giustificato se ci fossero correlazioni nelle serie di ritorno? Penso che ci siano pacchetti in R che si adattino. Devo solo sapere quando applicare un ARMA-GARCH o semplicemente un GARCH. Posso usare il test ljung-box per testare gli effetti GARCH?

— ankc,