Come trovo la probabilità di un errore di tipo II?

So che un errore di tipo II è dove H1 è vero, ma H0 non viene rifiutato.

Domanda

Come posso calcolare la probabilità di un errore di tipo II che coinvolge una distribuzione normale, in cui è nota la deviazione standard?

probability power-analysis type-i-and-ii-errors

— Jeromy Anglim
fonte

Vedi l' articolo di Wikipedia "Potere statistico"

— onestop il

Vorrei riformulare questa domanda come "come trovo la potenza di un test generale, come contro ?" Questo è spesso il test più frequentemente eseguito. Non so come si calcolerebbe la potenza di un simile test.

H_{0} : μ = μ_{0}

$H_{0}:\mu=\mu_{0}$

H_{1} : μ > μ_{0}

$H_{1}:\mu > \mu_{0}$

— probabilityislogic

Oltre a specificare (probabilità di un errore di tipo I), è necessario conoscere una coppia di ipotesi completamente specificata, vale a dire , e . (probabilità di errore di tipo II) è . Presumo un unilaterale . In R: $\alpha$ $\mu_{0}$ $\mu_{1}$ $\sigma$ $\beta$ $1 - \textrm{power}$ $H_{1}: \mu_{1} > \mu_{0}$

> sigma <- 15    # theoretical standard deviation
> mu0   <- 100   # expected value under H0
> mu1   <- 130   # expected value under H1
> alpha <- 0.05  # probability of type I error

# critical value for a level alpha test
> crit <- qnorm(1-alpha, mu0, sigma)

# power: probability for values > critical value under H1
> (pow <- pnorm(crit, mu1, sigma, lower.tail=FALSE))
[1] 0.63876

# probability for type II error: 1 - power
> (beta <- 1-pow)
[1] 0.36124

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xLims <- c(50, 180)
left  <- seq(xLims[1],   crit, length.out=100)
right <- seq(crit, xLims[2],   length.out=100)
yH0r  <- dnorm(right, mu0, sigma)
yH1l  <- dnorm(left,  mu1, sigma)
yH1r  <- dnorm(right, mu1, sigma)

curve(dnorm(x, mu0, sigma), xlim=xLims, lwd=2, col="red", xlab="x", ylab="density",
      main="Normal distribution under H0 and H1", ylim=c(0, 0.03), xaxs="i")
curve(dnorm(x, mu1, sigma), lwd=2, col="blue", add=TRUE)
polygon(c(right, rev(right)), c(yH0r, numeric(length(right))), border=NA,
        col=rgb(1, 0.3, 0.3, 0.6))
polygon(c(left,  rev(left)),  c(yH1l, numeric(length(left))),  border=NA,
        col=rgb(0.3, 0.3, 1, 0.6))
polygon(c(right, rev(right)), c(yH1r, numeric(length(right))), border=NA,
        density=5, lty=2, lwd=2, angle=45, col="darkgray")
abline(v=crit, lty=1, lwd=3, col="red")
text(crit+1,  0.03,  adj=0, label="critical value")
text(mu0-10,  0.025, adj=1, label="distribution under H0")
text(mu1+10,  0.025, adj=0, label="distribution under H1")
text(crit+8,  0.01,  adj=0, label="power", cex=1.3)
text(crit-12, 0.004,  expression(beta),  cex=1.3)
text(crit+5,  0.0015, expression(alpha), cex=1.3)

— Caracal
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C'è un refuso in questa risposta? Penso che ciò che si chiama sia in realtà e viceversa. Ad ogni modo, questo è un eccellente grafico e un esempio di codice R!

pow

$\texttt{pow}$

β

$\beta$

— jdods

@jdods In effetti, lower.tail=FALSEmancava. Grazie mille!

— Caracal,

@caracal potresti spiegare, in termini ~ laici, perché possiamo calcolare un valore p (rischio di errore di tipo 1) senza considerazione per la beta, ma dobbiamo specificare l'alfa per poter misurare il rischio di errore di tipo 2? Sento che mi manca qualcosa. Grazie per la tua eccellente risposta.

— Cystack l'

@Cystack Il significato preciso di un valore p, errore di tipo 1, errore di tipo 2 va oltre ciò che può essere trasmesso in un commento. Comincerei a cercare le risposte a domande come stats.stackexchange.com/q/46856/1909 o stats.stackexchange.com/q/129628/1909 , vedere anche le caselle "Collegate" e "Correlate" nell'angolo in alto a destra per contenuti più pertinenti.

— Caracal,

Per integrare la risposta di Caracal, se stai cercando un'opzione GUI di facile utilizzo per calcolare i tassi di errore di tipo II o la potenza per molti progetti comuni, compresi quelli impliciti nella tua domanda, potresti voler controllare il software gratuito, G Power 3 .

— Jeromy Anglim
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