Aspettativa del quoziente di somme di variabili casuali IID (foglio di lavoro dell'Università di Cambridge)

Mi sto preparando per un'intervista che richiede una discreta conoscenza delle probabilità di base (almeno per superare l'intervista stessa). Sto lavorando attraverso il foglio qui sotto dai miei giorni da studente come revisione. Per lo più è stato abbastanza semplice, ma sono completamente perplesso sulla domanda 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Modifica: la domanda è:

Supponiamo che siano variabili casuali positive distribuite in modo identico indipendenti con e . Sia . Mostra che quando , e quando . $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

In effetti, nel processo di digitazione, ho risolto la seconda parte.

Per , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

e il numeratore e il denominatore del rapporto sopra sono chiaramente indipendenti, quindi:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

e otteniamo il risultato desiderato.

Sono ancora bloccato nella prima parte però.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
fonte

È importante che i post siano autonomi. Modifica questo per includere una versione leggibile della domanda. Ti chiediamo anche di indicare quali approcci hai provato e quali progressi hai fatto: altrimenti non abbiamo basi per valutare il livello al quale scrivere le risposte.

— whuber

Aggiornato come richiesto.

— Spy_Lord,

Buon lavoro! Ecco un suggerimento per la prima parte: quando aggiungi copie identiche di , sembra che la somma abbia una distribuzione la cui aspettativa è facile da calcolare usando solo l'ipotesi iid.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Apprezzo la tua offerta di scriverlo; Penso che sarebbe un'utile aggiunta al nostro sito.

— whuber

OK, penso che il passo che inizialmente pensavo fosse giusto, poi ho deciso che era sbagliato, in realtà è OK! In sostanza, quando arrivi al punto in cui hai , questo, per la proprietà iid, è identico a Puoi confermare che va bene? In tal caso lo scriverò dopo la fretta.

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord,

Risposte:

Individuare l'aggiunta di copie identiche di è molto intelligente! Ma alcuni di noi non sono così intelligenti, quindi è bello poter "rimandare" la Grande Idea a un palcoscenico in cui è più ovvio cosa fare. Senza sapere da dove cominciare, sembrano esserci diversi indizi secondo cui la simmetria potrebbe essere davvero importante (l'aggiunta è simmetrica e abbiamo alcune somme e le variabili iid hanno le stesse aspettative, quindi forse possono essere scambiate o rinominate in modi utili). In effetti il "duro" pezzo di questa domanda è come gestire la divisione, l'operazione che non è simmetrica. Come possiamo sfruttare la simmetria della sommatoria? Dalla linearità delle aspettative abbiamo: $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Ma poi per motivi di simmetria, dato che sono iid e , tutti i termini sul lato destro sono gli stessi! Perché? Cambia le etichette di e per . Due termini nella posizione dell'interruttore denominatore, ma dopo il riordino si sommano ancora a , mentre il numeratore passa da a . Quindi . Scriviamo per e poiché ci sono tali termini, abbiamo . $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Sembra che produca il risultato corretto. Ma come dimostrarlo? Sappiamo $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

È solo a questo punto che mi sono reso conto che avrei dovuto aggiungerli insieme per ottenere

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

La cosa bella di questo metodo è che preserva l'unità delle due parti della domanda. La ragione per cui la simmetria è rotta, che richiede aggiustamento quando , è che i termini sul lato destro dopo aver applicato la linearità di aspettativa saranno di due tipi, a seconda che nel numeratore si trovi nella somma nel denominatore. (Come in precedenza, posso cambiare le etichette di e se entrambi appaiono nel denominatore poiché questo riordina semplicemente la somma , o se nessuno dei due fa in modo che la somma rimanga chiaramente invariata, ma se uno lo fa e uno non lo fa allora dei termini nel denominatore cambia e non si somma più a .) Per abbiamo $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ e per abbiamo , diciamo. Poiché abbiamo dei termini precedenti e del secondo, $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Quindi trovare è semplice usando l'indipendenza di e per : $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Quindi lo stesso "trucco" funziona per entrambe le parti, implica solo trattare due casi se . Sospetto che sia per questo che le due parti della domanda sono state presentate in questo ordine. $m>n$

— pesciolino d'argento
fonte

Un'esposizione molto bella sui tuoi pensieri che risolvono la domanda e rendi esplicito il passaggio nk (la mia specie di risposta dice semplicemente "chiaramente uguale"). Saluti!

— Spy_Lord,

Grazie a whuber per il suggerimento per la prima parte.

Considerare per il caso $nS_m/S_n$ $m<=n$

Abbiamo $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

e per la proprietà iid, ciò equivale a:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Pertanto per $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Spy_Lord
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