Condizioni necessarie e sufficienti su MGF comune per l'indipendenza

Supponiamo che io abbia una funzione generatrice di momenti congiunti per una distribuzione congiunta con CDF . È sia una condizione necessaria e sufficiente $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ condizione per l'indipendenza di e ? Ho controllato un paio di libri di testo, che menzionavano solo la necessità: $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Questo risultato è chiaro poiché l'indipendenza implica . Poiché i MGF dei margini sono determinati dal MGF congiunto abbiamo: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Ma dopo aver cercato online ho trovato solo un riferimento fugace, senza prove, al contrario . È possibile utilizzare la seguente prova di schizzo?

Dato un MGF comune , ciò determina in modo univoco le distribuzioni marginali di e e dei loro MGF, e $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . I soli margini sono compatibili con molte altre possibili distribuzioni di giunti e determinano in modo univoco una distribuzione di giunti in cui e sono indipendenti, con CDF e MGF: $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— pesciolino d'argento
fonte

Sì, questa è la condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza non solo per due variabili casuali ma anche per una sequenza (finita) di variabili casuali. Dai un'occhiata ad esempio a P.2 a pagina 242 di Probabilità con applicazioni statistiche , di Rinaldo B. Schinazi. Oppure pagina 259 di Analisi econometrica dei dati di conteggio basata sulla funzione di generazione della probabilità. Basta notare che "la funzione generatrice di momenti non esiste sempre".

— statistica
fonte

Grazie per i solidi riferimenti. Sì, sono stato attento a dichiarare che l'MGF originale è stato dato all'inizio e ho cercato di ricordare di dimostrare che qualsiasi altro MGF a cui mi riferivo esisteva come conseguenza prima di farci qualcosa! Quali strategie di prova sono state impiegate nei tuoi riferimenti?

— Silverfish,

Hai letto il paragrafo subito dopo P2 nel mio primo riferimento?

— Stat

Ah sì - è l'estensione della mia prova suggerita ai vettori. Confrontare il MGF della distribuzione data con il MGF erano i componenti indipendenti; poiché sono uguali e gli MGF determinano in modo univoco la distribuzione congiunta, la distribuzione congiunta è quella indipendente.

— Silverfish,