Voglio mostrare

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Sia una variabile casuale nello spazio di probabilità che $X:\Omega \to \mathbb N$ $(\Omega,\mathcal B,P)$

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

la mia definizione da è uguale a $E(X)$

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Grazie.

probability self-study expected-value

— ambagher pual
fonte

Hmmm, forse vuoi aggiungere quel ... no?

X \geq 0

$X\geq 0$

— Stat

@Stat: no, . è naturale. Considera sempre uguale a 2. .

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— Gennaio

oops, non ho visto !

N

$N$

— Stat

1

L'istruzione è (leggermente) errata: poiché include , la somma deve iniziare da invece di .

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber No, la somma deve iniziare da (prova il caso quando ).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— Fatto il

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La definizione di per discreta è . $E(X)$ $X$ $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Così

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(riordiniamo i termini nell'ultima espressione)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

QED

— gennaio
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4

Dovresti fornire suggerimenti utili per i tag di autoapprendimento e non per la risposta completa. È meglio non risolvere i loro compiti :)

— Stat

1

Non hai bisogno di spiegare perché puoi riordinare la somma? sarebbe importante se stai cercando una dimostrazione rigorosa.

— Manuel,

@ Gennaio. Nella domanda è una variabile casuale non menzionare è discreta o continua.

X

$X$

X

$X$

— ambagher pual

1

Peccato, sì, hai indicato che è discreto nella prima riga: "discreto" (nel suo senso più ampio possibile) significa che esiste un sottoinsieme numerabile dell'intervallo della variabile per il quale ha probabilità ; e poiché è numerabile, la tua deve essere discreta.

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

@ whuber. Sono d'accordo e capito. Grazie a tutti.

— ambasciatore del

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Mi piace la risposta di gennaio. Posso suggerire un modo per scrivere la serie in modo che l'occhio catturi più facilmente il riarrangiamento (questo è il modo in cui mi piace scriverlo sulla lavagna)? (Il riarrangiamento è matematicamente valido perché si tratta di una serie di termini positivi .)

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— zen
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Supponi che X sia discreto?

— BCLC,

@BCLC, la formula funziona solo quando X può assumere numeri interi positivi. In effetti, per esempio, la distribuzione uniforme standard dà 1 mentre la risposta è 1/2. Oppure, anche in casi discreti, consideriamo la distribuzione a due punti : la formula dà 0, mentre il valore medio è 3/8.

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Artem Sobolev,

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Penso che il modo standard per farlo sia quello di scrivere

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

e poi invertire l'ordine delle aspettative e la somma (dal teorema di Tonelli)

— seanv507
fonte

X

$X$

1

@BCLC La prima riga è vera solo se X è un numero naturale, quindi non è corretto ....

— seanv507,

1

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Prendendo si ottiene quindi il risultato utile: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Vale la pena notare che questo risultato è più forte della regola di aspettativa nella domanda, poiché fornisce una decomposizione per la variabile casuale sottostante e non solo il suo momento. Come notato nell'altra risposta, prendere le aspettative di entrambi i lati di questa equazione e applicare il teorema di Tonelli (per scambiare l'ordine della somma e gli operatori delle aspettative), dà la regola delle aspettative nella domanda. Questa è una regola di aspettativa standard utilizzata quando si ha a che fare con variabili casuali non negative.

Il risultato sopra può essere dimostrato abbastanza semplicemente. Inizia osservando che:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Per ogni abbiamo quindi: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Ripristina Monica
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