Questa è una domanda molto semplice. Perché utilizziamo una distribuzione chi square? Qual è il significato di questa distribuzione? Perché questa distribuzione viene utilizzata per creare un intervallo di confidenza per la varianza?

Ogni posto in cui google per una spiegazione presenta semplicemente questo fatto, spiegando quando usare chi, ma non spiegando perché usare chi e perché appaia in questo modo.

Mille grazie a chiunque mi possa indirizzare verso la giusta direzione e cioè - capire veramente perché sto usando chi quando sto creando un intervallo di confidenza per la varianza.

Risposta rapida

Il motivo è perché, supponendo che i dati siano iid e e che definiscano ˉ $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ quando si formano intervalli di confidenza, la distribuzione campionaria associata alla varianza del campione (S2, ricordate, una variabile casuale!) È una distribuzione chi-quadro (S2(N-1)/σ2∼χ2n-1), così come la distribuzione campionaria associata alla media campionaria è una distribuzione normale standard ((ˉX-μ)

$$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$$ $S^2$$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$) quando conosci la varianza e con uno studente t quando non lo conosci (( ˉ X -μ)$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$ ).$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

Risposta lunga

Prima di tutto, proveremo che segue una distribuzione chi-quadro con N - 1 gradi di libertà. Successivamente, vedremo come questa dimostrazione sia utile quando si ricavano gli intervalli di confidenza per la varianza e come appare la distribuzione chi-quadro (e perché è così utile!). Cominciamo.$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

La prova

Per questo, forse devi abituarti alla distribuzione chi-quadro in questo articolo di Wikipedia . Questa distribuzione ha solo un parametro: i gradi di libertà, , e sembra avere una Moment Generating Function (MGF) data da: m χ 2 ν ( t ) = ( 1 - 2 t ) - ν / 2 . Se possiamo mostrare che la distribuzione di S 2 ( N - 1 ) / σ 2 ha una funzione generatrice di momenti come questa, ma con ν $\nu$

$$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ , quindi abbiamo dimostrato che S 2 ( N - 1 ) / σ 2 segue una distribuzione chi-quadro con N - 1 gradi di libertà. Per dimostrarlo, nota due fatti:$\nu=N-1$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

1. Se definiamo, doveZi∼N(0,1), vale a dire variabili casuali normali standard, la funzione generatrice del momento diYè data da m Y (t

   $$\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$$ $Z_i\sim N(0,1)$$Y$ Il MGF diZ2è dato da m Z 2 ( t $$\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$$ $Z^2$ dove ho usato il PDF dello standard normale,f(z)=e- z 2 / 2/ $$\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$$ e, quindi, mY(t)=(1-2t) - N / 2 , il cheimplica cheYsegue una distribuzione chi-quadro conNgradi di libertà.$f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ $$\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$$ $Y$$N$

2. Se e Y 2 sono indipendenti e ciascuno si distribuisce come distribuzione chi-quadro ma con ν 1 e ν 2 gradi di libertà, allora W = Y 1 + Y 2 si distribuisce con una distribuzione chi-quadrato con ν 1 + ν 2 gradi di libertà (questo deriva dal prendere l'MGF di W ; fallo!).$Y_1$$Y_2$$\nu_1$$\nu_2$$W=Y_1+Y_2$$\nu_1+\nu_2$$W$

Con i fatti di cui sopra, nota che se moltiplichi la varianza del campione per , ottieni (dopo un po 'di algebra), ( N - 1 ) S 2 = - n ( ˉ X - μ ) + ∑ ( X i - μ ) 2 , e quindi dividendo per σ 2 , ( N - 1 ) S $N-1$

$$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$$ $\sigma^2$ Si noti che il secondo termine nella parte sinistra di questa somma si distribuisce come distribuzione chi-quadro con 1 grado di libertà e la somma della parte destra si distribuisce come chi-quadrato conNgradi di libertà. Pertanto,S2(N-1)/σ2 sidistribuisce come un chi-quadrato conN-1gradi di libertà. $$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$$ $N$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la varianza.

Quando cerchi un intervallo di confidenza per la varianza, vuoi conoscere i limiti e L 2 in P ( L 1 ≤ σ 2 ≤ L 2 ) = 1 - α . Giochiamo con la disuguaglianza all'interno della parentesi. Innanzitutto, dividi per S 2 ( N - 1 ) , L $L_1$$L_2$

$$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)$ E poi ricorda due cose: (1) la statisticaS2(N-1)/σ2ha una distribuzione chi-quadrato conN-1gradi di libertà e (2) le varianze sono sempre più grandi di zero, il che implica che tu può invertire le disuguaglianze, perché L $$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$ quindi, la probabilità che stiamo cercando è: P(S2(N-1 $$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$ $$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$$ $N-1$$N-1$$N-1$ $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$$ Calling $\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$ e $\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$, dove i valori $\chi^2_{\alpha/2}$ e $\chi^2_{1-\alpha/2}$ può essere trovato nelle tabelle chi-square (principalmente nei computer!) e risolvendo per $L_1$ e $L_2$, $$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$$ Quindi, il tuo intervallo di confidenza per la varianza è $$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$$