Perché la distribuzione di rand () ^ 2 è diversa da quella di rand () * rand ()?

In Libre Office Calc, la rand()funzione è disponibile, che sceglie un valore casuale tra 0 e 1 da una distribuzione uniforme. Sono un po 'arrugginito sulla mia probabilità, quindi quando ho visto il seguente comportamento, sono rimasto perplesso:

A = 200x1 colonna di rand()^2

B = 200x1 colonna di rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

Perché è mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
fonte

Perché l'aspettativa del quadrato di una variabile casuale non è uguale al quadrato della sua aspettativa.

— Michael M,

Se rand()funziona come altri operatori simili, allora A è lo stesso numero casuale al quadrato e B è due numeri casuali, moltiplicati.

— Peter Flom - Ripristina Monica

Capisco. Sarebbe molto utile se potessi vedere la matematica spiegata o collegata a una risorsa che lo fa.

— Jefftopia,

Semplificare la situazione potrebbe aiutarti a capire il punto. Supponiamo che siano Rand()stati sostituiti da Int(2*Rand()): questo assume i valori

con pari probabilità. Ci sono due possibilità per il suo quadrato e quattro possibilità per il prodotto di due valori (indipendenti): cosa succede quando elaborate le loro aspettative?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Risposte:

Può essere utile pensare ai rettangoli. Immagina di avere la possibilità di ottenere terre gratis. La dimensione del terreno sarà determinata da (a) una realizzazione della variabile casuale o (b) due realizzazioni della stessa variabile casuale. Nel primo caso (a), l'area sarà quadrata con la lunghezza laterale uguale al valore campionato. Nel secondo caso (b), i due valori campionati rappresenteranno la larghezza e la lunghezza di un rettangolo. Quale alternativa scegli?

Sia una realizzazione di una variabile casuale positiva. $\mathbf{U}$

a) Il valore atteso di una realizzazione determina l'area del quadrato che è uguale a . In media, la dimensione dell'area sarà $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b) Se ci sono due realizzazioni indipendenti e , l'area sarà . In media, la dimensione è uguale a $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$ poiché entrambe le realizzazioni sono della stessa distribuzione e indipendenti.

Quando calcoliamo la differenza tra la dimensione delle aree a) eb), otteniamo

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Il termine sopra è identico a che è intrinsecamente maggiore o uguale a $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$ .

Questo vale per il caso generale.

$\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

Con $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Questi valori sono stati derivati analiticamente ma corrispondono a quelli ottenuti con il generatore di numeri casuali.

— Sven Hohenstein
fonte

Per un arbitrario

, ottengo

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

È un uso intelligente della varianza. E qui stavo per battere direttamente la matematica.

— Affine,

Questo ha senso per me. Tutto dipende dal fatto che la varianza non sia negativa. Sono anche curioso di sapere come John abbia ottenuto la sua risposta.

— Jefftopia,

Fondamentalmente ha appena seguito quello che ha fatto Sven, ma li ha sostituiti con le formule per una distribuzione uniforme più generale.

— Giovanni,

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Non per suggerire che manchi qualcosa dell'eccellente risposta di Sven, ma volevo presentare un punto di vista relativamente elementare sulla domanda.

Considerare la stampa dei due componenti di ciascun prodotto per vedere che la distribuzione congiunta è molto diversa.

plot of u1 vs u2 and u1 vs u1

Si noti che il prodotto tende ad essere grande (vicino a 1) quando entrambi i componenti sono grandi, cosa che accade molto più facilmente quando i due componenti sono perfettamente correlati anziché indipendenti.

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$ .

Piuttosto una differenza!

Può essere utile tracciare contorni iso-prodotto su grafici come quelli sopra - ovvero curve in cui xy = costante per valori come 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Man mano che si passano a valori sempre più grandi, la proporzione di punti sopra e a destra del contorno scende molto più rapidamente per il caso indipendente.

— Glen_b -Restate Monica
fonte