Valore atteso della statistica minima dell'ordine da un campione normale

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AGGIORNAMENTO 10 gennaio 2014: l'errore è stato trovato: un errore di matematica in una delle fonti utilizzate. Preparazione della correzione ...

La densità della statistica minima dell'ordine da una raccolta di iid variabili continue continue con cdf e pdf è F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Se queste variabili casuali sono normali normali, allora

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ e quindi il suo valore atteso è $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

dove abbiamo usato le proprietà simmetriche della normale standard. In Owen 1980 , p.402, eq. [ N, 011 ] troviamo che

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Otteniamo i parametri corrispondenti tra eq $[3]$ e $[4]$ ( $a=-1$ , $m=n-1$ )

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Ancora una volta in Owen 1980, p. 409, eq [ n0,010,2 ] lo troviamo

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

dove è la normale multivariata normale, sono i coefficienti di correlazione per coppia e .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

Corrispondenza e abbiamo, , e $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Utilizzando questi risultati, eq diventa$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Questo integrale di probabilità normale standard multivariato di variabili equi-correlate, tutte valutate a zero , ha visto indagini sufficienti e sono stati derivati ​​vari modi per approssimarla e calcolarla. Una revisione approfondita (relativa al calcolo degli integrali di probabilità normale multivariata in generale) è Gupta (1963) . Gupta fornisce valori espliciti per vari coefficienti di correlazione e per un massimo di 12 variabili (quindi copre una raccolta di 14 variabili). I risultati sono (L'ULTIMA COLONNA È SBAGLIATA) :

Ora se rappresentiamo come il valore di cambia con , otterremo$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Quindi arrivo alle mie tre domande / richieste:
1) Qualcuno potrebbe verificare analiticamente e / o verificare mediante simulazione che i risultati per il valore atteso siano corretti (cioè verificare la validità di eq )?$[7]$

2) Supponendo che l'approccio sia corretto, qualcuno potrebbe fornire la soluzione per normali con varianza non zero e non unitaria? Con tutte le trasformazioni ho davvero le vertigini.

3) Il valore dell'integrale di probabilità sembra evolversi senza intoppi. Che ne dici di approssimarlo con qualche funzione di ?$n$

I risultati non appaiono corretti. Questo è facile da vedere, senza alcun calcolo, perché nella tua tabella, la tua aumenta con la dimensione del campione ; chiaramente, il valore atteso del minimo del campione deve ridursi (cioè diventare più negativo) man mano che la dimensione del campione aumenta.$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Il problema è concettualmente abbastanza semplice.

In breve: se ~ con pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... quindi il pdf della statistica del 1 ° ordine (in un campione di dimensione ) è:$n$

... ottenuto qui utilizzando la OrderStatfunzione in mathStatica, con dominio di supporto:

Quindi, , per può essere facilmente ottenuto esattamente come:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Il caso esatto è circa , che è ovviamente diverso dal tuo funzionamento di -1,06 (riga 1 della tabella), quindi sembra chiaro che qualcosa non vada nel tuo funzionamento (o forse la mia comprensione di ciò che stai cercando) .$n = 3$$-0.846284$

Per , ottenere soluzioni in forma chiusa è più complicato, ma anche se l'integrazione simbolica risulta difficile, possiamo sempre usare l'integrazione numerica (se si desidera una precisione arbitraria). Questo è davvero molto semplice ... qui, ad esempio, è , per la dimensione del campione a 14, usando Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Tutto fatto. Questi valori sono ovviamente molto diversi da quelli nella tua tabella (colonna di destra).

Per considerare il caso più generale di un genitore , procedi esattamente come sopra, iniziando dal pdf normale generale.$N(\mu, \sigma^2)$