Le statistiche non sono matematica?

Le statistiche sono matematiche o no?

Dato che sono tutti numeri, per lo più insegnati dai dipartimenti di matematica e ottieni crediti matematici per questo, mi chiedo se le persone lo significano solo in modo scherzoso quando lo dicono, come dire che è una parte minore della matematica o semplicemente applicata.

Mi chiedo se qualcosa come le statistiche, in cui non è possibile costruire tutto sugli assiomi di base, possa essere considerato matematica. Ad esempio, il -value, che è un concetto nato per dare un senso ai dati, ma non è una conseguenza logica di principi più basilari.$p$

La matematica si occupa di astrazioni idealizzate che (quasi sempre) hanno soluzioni assolute, o il fatto che tale soluzione non esiste esiste generalmente può essere completamente descritto. È la scienza di scoprire conseguenze complesse ma necessarie da semplici assiomi.

La statistica usa la matematica, ma non è la matematica. Sono congetture istruite. È un gioco d'azzardo.

La statistica non si occupa delle astrazioni idealizzate (sebbene ne usi alcuni come strumenti), si occupa dei fenomeni del mondo reale. Gli strumenti statistici spesso fanno ipotesi semplificative per ridurre i disordinati dati del mondo reale a qualcosa che si adatta al dominio problematico di un'astrazione matematica risolta. Questo ci consente di fare ipotesi ponderate, ma questo è davvero tutto ciò che la statistica è: l'arte di fare ipotesi molto ben informate.

Considera il test di ipotesi con valori p. Diciamo che stiamo testando alcune ipotesi con significato , e dopo aver raccolto i dati troviamo un valore p di . Quindi respingiamo l'ipotesi nulla a favore di un'ipotesi alternativa.$\alpha = 0.01$$0.001$

Ma cos'è davvero questo valore p? Qual è il significato? La nostra statistica di test è stata sviluppata in modo tale da conformarsi a una particolare distribuzione, probabilmente quella degli studenti. Sotto l'ipotesi nulla, il percentile della nostra statistica test osservata è il valore p. In altre parole, il valore p dà la probabilità che otterremmo un valore lontano dalle aspettative della distribuzione (o più lontano) della statistica del test osservata. Il livello di significatività è un limite della regola empirica abbastanza arbitrario: impostarlo su equivale a dire "è accettabile se 1 ripetizione su 100 di questo esperimento suggerisca di rifiutare il nulla, anche se il valore nullo è effettivamente vero. "$0.01$

Il valore p ci dà la probabilità che osserviamo i dati a portata di mano dato che il valore nullo è vero (o meglio, diventando un po 'più tecnico, che osserviamo i dati sotto l'ipotesi nulla che ci dà almeno un valore estremo del valore statistica testata come quella che abbiamo trovato). Se rifiuteremo il null, vogliamo che questa probabilità sia piccola, avvicinandoci a zero. Nel nostro esempio specifico, abbiamo scoperto che la probabilità di osservare i dati raccolti se l'ipotesi nulla fosse vera era solo dello , quindi abbiamo rifiutato il valore nullo. Questa era un'ipotesi colta. Non abbiamo mai veramente sappiamo per certo che l'ipotesi nulla è falsa utilizzando questi metodi, dobbiamo solo sviluppare una misura per quanto fortemente la nostra prova sostiene l'alternativa.$0.1\%$

Abbiamo usato la matematica per calcolare il valore p? Sicuro. Ma la matematica non ci ha dato la nostra conclusione. Sulla base delle prove, abbiamo formulato un'opinione istruita, ma è ancora una scommessa. Abbiamo trovato questi strumenti estremamente efficaci negli ultimi 100 anni, ma le persone del futuro potrebbero meravigliarsi con orrore della fragilità dei nostri metodi.

Lingua saldamente nella guancia:

Apparentemente Einstein ha scritto

Quanto alle leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe; e per quanto ne sono certi, non si riferiscono alla realtà.

quindi la statistica è la branca della matematica che descrive la realtà. ; O)

Direi che la statistica è un ramo della matematica allo stesso modo in cui la logica è un ramo della matematica. Comprende certamente un elemento di filosofia, ma non credo che sia l'unica branca della matematica in questo caso (vedi ad esempio Morris Kline, "Mathematics - The Loss of Certainty", Oxford University Press, 1980).

Bene, se dici che " qualcosa come le statistiche, dove non puoi costruire tutto sugli assiomi di base ", probabilmente dovresti leggere della teoria assiomatica della probabilità di Kolmogorov. Kolmogorov definisce la probabilità in modo astratto e assiomatico come puoi vedere in questo pdf a pagina 42 o qui in fondo alla pagina 1 e alle pagine successive .

Solo per darti un assaggio delle sue definizioni astratte, definisce una variabile casuale come una funzione "misurabile", come spiegato qui in un modo più "intuitivo": se una variabile casuale è una funzione, come possiamo definire una funzione di un variabile casuale

Con un numero molto limitato di assiomi e utilizzando i risultati della (ancora matematica) teoria delle misure, può definire concetti come variabili casuali, distribuzioni, probabilità condizionale, ... in modo astratto e ricavare tutti i risultati ben noti come la legge di grandi numeri, ... da questo insieme di assiomi. Ti consiglio di provarlo e rimarrai sorpreso dalla sua bellezza matematica.

Per una spiegazione sui valori di p mi riferisco a: fraintendere un valore di P?

Non ho basi rigorose o filosofiche per rispondere a questa domanda, ma ho sentito spesso la lamentela "statistiche non è matematica" da parte di persone, di solito di tipo fisico. Penso che le persone vogliano garantire certezza dalla propria matematica e la statistica (di solito) offre solo conclusioni probabilistiche con valori p associati. In realtà, questo è esattamente ciò che amo delle statistiche. Viviamo in un mondo fondamentalmente incerto e facciamo del nostro meglio per capirlo. E facciamo un ottimo lavoro, tutto sommato.

Forse è perché sono un plebe e non ho seguito corsi avanzati di matematica, ma non vedo perché la statistica non sia matematica. Gli argomenti qui e su una domanda duplicata sembrano sostenere due punti principali sul perché la statistica non è matematica ^* .

1. Non è esatto / certo, e come tale si basa su ipotesi.
2. Applica la matematica ai problemi e ogni volta che applichi la matematica non è più la matematica.

Non è esatto e usa ipotesi

Ipotesi / approssimazioni sono utili per molta matematica.

Le proprietà di un triangolo di cui ho appreso nella scuola elementare credo siano considerate vere matematiche, anche se non sono valide nella geometria non elucidea. Quindi chiaramente un'ammissione dei limiti, o dichiarata in un altro modo "supponendo che XYZ sia valido", a un ramo della matematica non esclude che il ramo sia "vero".

Il calcolo sono certo che sarebbe considerato una forma pura di matematica, ma i limiti sono lo strumento principale su cui lo abbiamo costruito. Possiamo continuare a calcolare fino al limite, così come possiamo continuare ad aumentare le dimensioni di un campione, ma nessuno dei due fornisce una visione approfondita oltre una certa soglia.

Una volta applicata la matematica non è matematica

L'ovvia contraddizione qui è che usiamo la matematica per dimostrare i teoremi matematici, e nessuno sostiene che provare i teoremi matematici non sia matematica.

La prossima affermazione potrebbe essere che thing xnon è matematica se usi la matematica per ottenere un risultato. Neanche questo ha alcun senso.

L'affermazione con cui concordo è che quando si utilizzano i risultati di un calcolo per prendere una decisione, la decisione non è matematica . Ciò non significa che l'analisi che porta alla decisione non sia matematica .

Penso che quando usiamo l'analisi statistica tutta la matematica eseguita è vera matematica. È solo una volta che consegniamo i risultati a qualcuno per l'interpretazione, la statistica esce dalla matematica. Come tali statistiche e statistici stanno facendo matematica reale e sono veri matematici. È l'interpretazione fatta dall'azienda e / o la traduzione dei risultati nell'impresa da parte dello statistico che non è matematica.

Dai commenti:

whuber ha detto:

Se dovessi sostituire "statistiche" con "chimica", "economia", "ingegneria" o qualsiasi altro campo che impieghi la matematica (come l'economia domestica), sembrerebbe che nessuna delle tue argomentazioni cambierebbe.

Penso che la differenza chiave tra "chimica", "ingegneria" e "bilanciamento del mio libretto degli assegni" sia che quei campi usano solo concetti matematici esistenti . Comprendo che statistici come Guass hanno ampliato il corpus di concetti matematici. Credo ^{(questo potrebbe essere palesemente sbagliato)} che per guadagnare un dottorato in statistica devi contribuire, in qualche modo, ad espandere il corpus di concetti matematici. I dottorandi in chimica / ingegneria non hanno questo requisito per quanto ne so.

La distinzione che la statistica contribuisce al corpo dei concetti matematici è ciò che lo distingue dagli altri campi che usano semplicemente concetti matematici .

*: L'eccezione notevole è questa risposta che afferma efficacemente che i confini sono artificiali a causa di vari motivi sociali. Penso che sia l'unica vera risposta, ma dov'è il divertimento in questo? ;)

Test statistici, modelli e strumenti di inferenza sono formulati nel linguaggio della matematica e gli statistici hanno matematicamente dimostrato libri spessi di risultati molto importanti e interessanti su di loro. In molti casi, le prove forniscono prove convincenti che gli strumenti statistici in questione sono affidabili e / o potenti.

La statistica e la sua comunità potrebbero non essere abbastanza "pure" per i matematici di un certo gusto, ma sono decisamente investiti nella matematica in modo estremamente profondo, e la statistica teorica è tanto un ramo della matematica quanto la fisica teorica o l'informatica teorica.

La "differenza" si basa su: ragionamento induttivo vs. ragionamento deduttivo vs. inferenza. Ad esempio, nessun teorema matematico può dire quale distribuzione o prima è possibile utilizzare per i propri dati / modello.

A proposito, la statistica bayesiana è un'area assiomatizzata.

Questa potrebbe essere un'opinione molto impopolare, ma data la storia e la formulazione dei concetti di statistica (e teoria della probabilità), considero la statistica un sottosuolo della fisica .

In effetti, Gauss inizialmente formalizzò il modello di regressione dei minimi quadrati nelle previsioni astronomiche. La maggior parte dei contributi alle statistiche prima di Fisher provenivano da fisici (o matematici altamente applicati il ​​cui lavoro sarebbe chiamato Fisica dagli standard odierni): Lyapunov, De Moivre, Gauss e uno o più dei Bernoullis.

Il principio generale è la caratterizzazione degli errori e l'apparente casualità propagata da un numero infinito di fonti di variazione non misurate. Man mano che gli esperimenti diventavano più difficili da controllare, gli errori sperimentali dovevano essere descritti e spiegati formalmente per calibrare la preponderanza delle prove sperimentali rispetto al modello matematico proposto. Più tardi, mentre la fisica delle particelle si addentrava nella fisica quantistica , la formalizzazione delle particelle come distribuzioni casuali ha dato un linguaggio molto più conciso per descrivere la casualità apparentemente incontrollabile con fotoni ed elettroni.

Le proprietà degli stimatori come la loro media (centro di massa) e deviazione standard (secondo momento di deviazioni) sono molto intuitive per i fisici. La maggior parte dei teoremi limite può essere liberamente collegata alla legge di Murphy, ovvero che la distribuzione normale limitante è la massima entropia.

Quindi la statistica è un sottogruppo di fisica.