Idea di modello misto e metodo bayesiano

Nel modello misto, supponiamo che gli effetti casuali (parametri) siano variabili casuali che seguono le normali distribuzioni. Sembra molto simile al metodo bayesiano, in cui tutti i parametri sono considerati casuali.

Quindi il modello a effetti casuali è una specie di caso speciale del metodo bayesiano?

Questa è una buona domanda A rigor di termini, l'utilizzo di un modello misto non ti rende bayesiano. Immagina di stimare ogni effetto casuale separatamente (trattandolo come un effetto fisso) e quindi guardando la distribuzione risultante. Questo è "sporco", ma concettualmente hai una distribuzione di probabilità sugli effetti casuali basata su un concetto di frequenza relativa .

Ma se, come frequentatore, ti adatti al tuo modello usando la massima verosimiglianza e poi desideri "stimare" gli effetti casuali, hai una piccola complicazione. Queste quantità non sono fisse come i tipici parametri di regressione, quindi una parola migliore di "stima" sarebbe probabilmente "previsione". Se vuoi prevedere un effetto casuale per un determinato soggetto, vorrai utilizzare i dati di quel soggetto. Dovrai ricorrere alla regola di Bayes, o almeno alla nozione cheQui la distribuzione di effetti casuali funziona essenzialmente come un precedente. E penso che a questo punto, molte persone chiamerebbero questo "Bayes empirico".

$$f(\beta_i | \mathbf{y}_i) \propto f(\mathbf{y}_i | \beta_i) g(\beta_i).$$ $g()$

Per essere un vero bayesiano, non dovresti solo specificare una distribuzione per i tuoi effetti casuali, ma distribuzioni (priori) per ogni parametro che definisce tale distribuzione, nonché distribuzioni per tutti i parametri degli effetti fissi e il modello epsilon. È piuttosto intenso!

Gli effetti casuali sono un modo per specificare un'ipotesi distributiva usando distribuzioni condizionate. Ad esempio, il modello ANOVA a senso unico casuale è: E questo presupposto distributivo equivale a dove ha una struttura intercambiabile (con voce diagonale e covarianza( y i 1 ⋮ y i J ) ∼ iid N ( ( μ ⋮ μ ) , Σ )

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ Σ σ 2 b + σ 2 w σ 2 b μ $$\begin{pmatrix} y_{i1} \\ \vdots \\ y_{iJ} \end{pmatrix} \sim_{\text{iid}} {\cal N}\left(\begin{pmatrix} \mu \\ \vdots \\ \mu \end{pmatrix}, \Sigma\right), \quad i=1,\ldots,I$$ $\Sigma$$\sigma^2_b+\sigma^2_w$$\sigma^2_b$). Per Bayesianify il modello, è necessario assegnare distribuzioni precedenti su e .$\mu$$\Sigma$

Se stai parlando in termini di riproduzione delle stesse risposte, allora la risposta è sì. Il metodo di calcolo INLA (google "inla bayesian") per i GLMM bayesiani combinato con un'uniforme precedente per i parametri di effetti e varianza fissi, sostanzialmente riproduce le uscite EBLUP / EBLUE sotto l'approssimazione gaussiana "plug-in semplice", dove vengono stimati i parametri di varianza tramite REML.

Non la penso così, la considero parte della funzione di verosimiglianza. È simile alla specifica del termine di errore che segue una distribuzione normale in un modello di regressione, oppure un determinato processo binario può essere modellato utilizzando una relazione logistica in un GLM.

Poiché non vengono utilizzate informazioni preliminari o distribuzioni, non lo considero bayesiano.