Invertire la trasformata di Fourier per una distribuzione di Fisher

La funzione caratteristica della distribuzione di Fisher è: dove è la funzione ipergeometrica confluente . Sto cercando di risolvere la trasformata inversa di Fourier della convoluzione per recuperare la densità di una variabile , ovvero: con lo scopo di ottenere la distribuzione della somma di $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - i t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, X}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Variabili casuali distribuite da Fisher. Mi chiedo se qualcuno abbia qualche idea in quanto sembra essere molto difficile da risolvere. Ho provato i valori di e

senza alcun risultato. Nota: per

per convoluzione ottengo il pdf della media (non somma):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3) x^{2} + 9 (20 x^{4} + 27 x^{2} + 9) \log (\frac{4 x^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (x^{2} + 15) (4 x^{2} + 3) x^{3} \tan^{- 1} (\frac{2 x}{\sqrt{3}}))}{π^{2} x^{3} {(x^{2} + 3)}^{3} (4 x^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

dove $x$ è una media di 2 variabili. So che è ingombrante ma mi piacerebbe avere un'idea dell'approssimazione della distribuzione del bacino.

— Nero
fonte

questa domanda è viva?

— Brethlosze,

Sì, è ancora aperto.

— Nero,

Presumo che tu abbia un pacchetto simbolico, giusto?

— Brethlosze,

(?) Correlati: mathoverflow.net/questions/184367/... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— b Kjetil Halvorsen

Non esiste una densità in forma chiusa per una convoluzione delle statistiche F, quindi il tentativo di invertire analiticamente la funzione caratteristica non può portare a qualcosa di utile.

Nelle statistiche matematiche, l'espansione di Edgeworth inclinata (nota anche come approssimazione a sella) è una tecnica famosa e spesso usata per approssimare una funzione di densità data la funzione caratteristica. L'approssimazione del punto di sella è spesso molto precisa. Ole Barndorff-Nielsen e David Cox hanno scritto un libro di testo che spiega questa tecnica matematica.

Esistono altri modi per affrontare il problema senza utilizzare la funzione caratteristica. Ci si aspetterebbe che la distribuzione della convoluzione sia qualcosa di simile a una distribuzione F in forma. Si potrebbe provare un'approssimazione come per la convoluzione, quindi scegliere e per rendere corretti i primi due momenti della distribuzione. Ciò è facile, data la media e la varianza note della distribuzione F. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

Se è grande, la convoluzione converge in una distribuzione chisquare su gradi di libertà. Ciò equivale a scegliere e nell'approssimazione sopra, dimostrando che l'approssimazione semplice è accurata per un grande . $\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— Gordon Smyth
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