La regressione di Cox ha una distribuzione di Poisson sottostante?

La nostra piccola squadra stava discutendo e rimase bloccata. Qualcuno sa se la regressione di Cox ha una distribuzione di Poisson sottostante. Abbiamo discusso sul fatto che forse la regressione di Cox con tempo a rischio costante avrà somiglianze con la regressione di Poisson con una varianza robusta. Qualche idea?

Sì, esiste un collegamento tra questi due modelli di regressione. Ecco un'illustrazione:

Supponiamo che il rischio di base sia costante nel tempo: . In tal caso, la funzione di sopravvivenza è$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

e la funzione di densità è

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Questo è il pdf di una variabile casuale esponenziale con aspettativa .$\lambda^{-1}$

Tale configurazione produce il seguente modello parametrico di Cox (con evidenti notazioni):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

Nell'impostazione parametrica i parametri vengono stimati utilizzando il metodo di verosimiglianza classico. La probabilità logaritmica è data da

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

dove è l'indicatore dell'evento.$d_{i}$

Fino a una costante additiva, questa non è altro che la stessa espressione della probabilità logaritmica della vista come realizzazione di una variabile di Poisson con media .$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Di conseguenza, è possibile ottenere stime utilizzando il seguente modello di Poisson:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

dove .$\beta_0 = \log(\lambda)$