Qual è la probabilità che una distribuzione normale con varianza infinita abbia un valore maggiore della sua media?

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Mi è stato chiesto qualcosa di simile a questo nell'intervista oggi.

L'intervistatore voleva sapere qual è la probabilità che un'opzione al the money finisca in the money quando la volatilità tende all'infinito.

Ho detto lo 0% perché le normali distribuzioni alla base del modello di Black-Scholes e l'ipotesi di camminata casuale avranno una varianza infinita. E così ho pensato che la probabilità di tutti i valori sarà zero.

Il mio intervistatore ha affermato che la risposta giusta è del 50% perché la distribuzione normale sarà ancora simmetrica e quasi uniforme. Quindi quando ti integri da media a + infinito ottieni il 50%.

Non sono ancora convinto del suo ragionamento.

Chi ha ragione?

normal-distribution variance

— louzer
fonte

In realtà esiste un limite (debole) delle distribuzioni normali quando la varianza aumenta all'infinito. Implica un infinitesimale proibito 1 / Aleph (0). Puoi leggere il mio articolo sugli infinitesimi in Research Gate o in Academia. Digita "H. Tomasz Grzybowski" su Google, accedi alla pagina Research Gate con i miei articoli, fai clic su "Contributi" e trovalo.

— H. Tomasz Grzybowski,

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Benvenuti nel nostro sito, @ H.TomaszGrzybowski. Ho convertito il tuo post in un commento perché sapevo che non avevi ancora acquisito la reputazione per creare un commento, ma in realtà non risponde alla domanda e quindi non può rimanere come risposta. Sarebbe interessante leggere una soluzione a questo problema basata sulla tua idea di infinitesimi e un limite debole. Avete ancora giungere al valore di

o si fa a trovare il valore non è definito?

1 / 2

$1/2$

— whuber

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Nessuna forma di ragionamento è matematicamente rigorosa - non esiste una distribuzione normale con varianza infinita, né esiste una distribuzione limitante quando la varianza aumenta - quindi facciamo un po 'di attenzione.

$t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— whuber
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6

+1 In breve, ragionamento fisico: due possibili esiti, perfettamente simmetrici, e le probabilità di tutti i possibili esiti devono riassumere fino a 1 - l'unica risposta può essere 1/2 (-;

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$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

Intuitivamente, invece di concepire una distribuzione normale a varianza infinita, dovresti immaginare una distribuzione a varianza finita e lavorare con i suoi limiti.

— Bravo
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-2

Dovresti fare le tue analisi in base a una distribuzione normale del log, non a una normale. L'intervistatore ha torto quando afferma che la distribuzione è simmetrica. Non lo sarebbe mai, indipendentemente dalla varianza. Devi anche distinguere tra volatilità e ciò che chiami varianza infinita. Un prezzo delle azioni, ad esempio, non ha limiti superiori, quindi ha "varianza infinita".

— Ralph Winters
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2

È corretto che sia coinvolta una distribuzione lognormale, ma non è necessario invocarla, come mostra la mia risposta. La distribuzione normale sottostante è ovviamente simmetrica. Il fatto che un prezzo delle azioni (o qualsiasi altra cosa) non abbia un limite superiore non implica che la sua distribuzione abbia una varianza infinita. Nella teoria di Black-Scholes, tra l'altro, la volatilità è davvero il parametro varianza (per la distribuzione dei logaritmi).

— whuber

consideriamo l'opzione, non lo stock.

— Wok,

@wok Vero, ma la teoria dipende dalla distribuzione dei prezzi delle attività (azioni). La distribuzione dei valori delle opzioni non è né normale né lognormale.

— whuber