Valore atteso della mediana del campione data la media del campione

Sia $Y$ denota la mediana e sia $\bar{X}$ la media, di un campione casuale di dimensione $n=2k+1$ da una distribuzione che è $N(\mu,\sigma^2)$ . Come posso calcolare $E(Y|\bar{X}=\bar{x})$ ?

Intuitivamente, a causa del presupposto della normalità, ha senso affermare che $E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$ e in effetti questa è la risposta corretta. Può essere mostrato rigorosamente però?

Il mio pensiero iniziale era di affrontare questo problema usando la distribuzione normale condizionale che è generalmente un risultato noto. Il problema è che dal momento che non conosco il valore atteso e di conseguenza la varianza della mediana, dovrei calcolare quelli che usano la statistica $k+1$ ordine. Ma è molto complicato e preferirei non andare lì a meno che non sia assolutamente necessario.

Lasciare denotano il campione originale e Z il vettore casuale con voci Z k = X k - ˉ X . Quindi Z è normalmente centrato (ma le sue voci non sono indipendenti, come si può vedere dal fatto che la loro somma è zero con piena probabilità). Come una funzione lineare di X , il vettore ( Z , ˉ X ) è normale, quindi il calcolo della sua matrice di covarianza è sufficiente per dimostrare che Z è indipendente da$X$$Z$$Z_k=X_k-\bar X$$Z$$X$$(Z,\bar X)$$Z$ .$\bar X$

Passando alla , si vede che Y = ˉ X + T dove T è la mediana di Z . In particolare, T dipende solo da Z, quindi T è indipendente da ˉ X e la distribuzione di Z è simmetrica, quindi T è centrato.$Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$$T$

Infine,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

The sample median is an order statistic and has a non-normal distribution, so the joint finite-sample distribution of sample median and sample mean (which has a normal distribution) would not be bivariate normal. Resorting to approximations, asymptotically the following holds (see my answer here):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

with

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

$\bar X_n$$\mu$$Y_n$$\mathbb v$$f()$$\sigma^2$

Quindi approssimativamente per campioni di grandi dimensioni, la loro distribuzione articolare è normale bivariata, quindi ce l'abbiamo

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

where $\rho$ is the correlation coefficient.

Manipulating the asymptotic distribution to become the approximate large-sample joint distribution of sample mean and sample median (and not of the standardized quantities), we have

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

We have that $2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$ due to the symmetry of the normal density so we arrive at

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

This is simpler than the above answers make it. The sample mean is a complete and sufficient statistic (when the variance is known, but our results do not depend on the variance, hence will be valid also in the situation when the variance is unknown). Then the Rao-Blackwell together with the Lehmann-Scheffe theorems (see wikipedia ...) will imply that the conditional expectation of the median, given the arithmetic mean, is the unique minimum variance unbiased estimator of the expectation $\mu$. But we know that is the arithmetic mean, hence the result follows.

We did also use that the median is an unbiased estimator, which follows from symmetry.