In un test t di un campione, cosa succede se nello stimatore di varianza la media del campione viene sostituita da ?

Supponiamo un test t di un campione, in cui l'ipotesi nulla è . La statistica è quindi usando la deviazione standard del campione . Nella stima di , si confrontano le osservazioni con la media del campione :$\mu=\mu_0$$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$s$$s$$\overline{x}$

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$ .

Tuttavia, se assumiamo che un dato sia vero, si potrebbe anche stimare la deviazione standard usando invece della media di esempio :$\mu_0$$s^*$$\mu_0$$\overline{x}$

$s^*=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}$ .

Per me, questo approccio sembra più naturale poiché di conseguenza utilizziamo l'ipotesi nulla anche per stimare la DS. Qualcuno sa se la statistica risultante viene utilizzata in un test o sa, perché no?

Si è verificato un problema con la simulazione originale in questo post, che si spera sia ora risolto.

Mentre la stima della deviazione standard del campione tende a crescere insieme al numeratore poiché la media si discosta da , ciò risulta non avere un effetto così grande sulla potenza a livelli di significatività "tipici", perché in campioni medio-grandi, tende ancora ad essere abbastanza grande da rifiutare. In campioni più piccoli, tuttavia, potrebbe avere qualche effetto, e a livelli di significatività molto piccoli questo potrebbe diventare molto importante, poiché porrà un limite superiore alla potenza che sarà inferiore a 1.s ∗ / $\mu_0$$s^*/\sqrt n$

Un secondo problema, forse più importante a livelli di significatività "comuni", sembra essere che il numeratore e il denominatore della statistica del test non sono più indipendenti dal nulla (il quadrato di è correlato alla stima della varianza) .$\bar x-\mu$

Ciò significa che il test non ha più una distribuzione t sotto il valore null. Non è un difetto fatale, ma significa che non puoi semplicemente usare le tabelle e ottenere il livello di significatività che desideri (come vedremo tra un minuto). Cioè, il test diventa conservativo e questo influisce sul potere.

Man mano che n diventa grande, questa dipendenza diventa meno un problema (non da ultimo perché puoi invocare il CLT per il numeratore e usare il teorema di Slutsky per dire che esiste una distribuzione normale asintotica per la statistica modificata).

Ecco la curva di potenza per un normale due t campione (curva viola, test a due code) e per il test usando il valore null di nel calcolo di (punti blu, ottenuti tramite simulazione, e usando le tabelle t), come la media della popolazione si allontana dal valore ipotizzato, per : s n = $\mu_0$$s$$n=10$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

Puoi vedere che la curva di potenza è più bassa (peggiora molto con dimensioni del campione inferiori), ma gran parte di ciò sembra essere dovuto al fatto che la dipendenza tra numeratore e denominatore ha abbassato il livello di significatività. Se si regolano i valori critici in modo appropriato, ci sarebbe poco tra loro anche a n = 10.

Ed ecco di nuovo la curva di potenza, ma ora per$n=30$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 30

Ciò suggerisce che a campioni di dimensioni non piccole non c'è molto tra loro, purché non sia necessario utilizzare livelli di significatività molto piccoli.

Quando l'ipotesi nulla è vera, la tua statistica dovrebbe essere simile alla normale statistica t-test (anche se nel calcolare la deviazione standard dovresti probabilmente dividere per invece di perché non stai spendendo un grado di libertà per stimare la media ). Mi aspetto che abbia proprietà simili (dimensioni adeguate, potenza simile) quando l'ipotesi nulla è vera (la media della popolazione è .n - 1 μ $n$$n-1$$\mu_0$

Ma ora considera cosa succede quando l'ipotesi nulla non è vera. Ciò significa che nel calcolare l'errore standard si sottrae un valore che non è la media vera o una stima della media vera, infatti si potrebbe sottrarre un valore che non rientra nemmeno nell'intervallo dei valori x. Questo renderà la tua deviazione standard più grande ( è garantito per minimizzare la deviazione standard) quando si allontana dalla media vera. Quindi quando il null è falso aumenterai sia il numeratore che il denominatore nella statistica, il che ridurrà le tue possibilità di rifiutare l'ipotesi nulla (e non sarà distribuito come distribuzione t). μ$\bar{x}$$\mu_0$

Quindi, quando il valore nullo è vero in entrambi i casi probabilmente funzionerà, ma quando il valore nullo è falso, l'uso di darà una potenza migliore (e probabilmente anche altre proprietà), quindi è preferibile. $\bar{x}$