Esiste sempre una funzione di collegamento canonico per un modello lineare generalizzato (GLM)?

In GLM, assumendo una e scalari per la distribuzione sottostante con pdf Si può dimostrare che . Se la funzione di collegamento soddisfa quanto segue, dove è il predittore lineare, allora è chiamata la funzione di collegamento canonico per questo modello. $Y$ $\theta$

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$

X^{'} β

$X'\beta$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

La mia domanda è: esiste sempre una funzione di collegamento canonico per un GLM? In altre parole, sempre essere invertito? Quali sono le condizioni necessarie per l'esistenza di una funzione di collegamento canonico? $A'(\theta)$

generalized-linear-model exponential-family

— Wei
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Per queste distribuzioni e $A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Poiché i parametri di varianza e dispersione sono diversi da zero (e persino positivi), $A'(\theta)$ è una funzione strettamente crescente e deve essere invertibile.

Tuttavia, non sono sicuro se ci sono distribuzioni di questa famiglia che hanno una varianza infinita. Non sono riuscito a trovare tali esempi.

— Vainius
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