Qual è la probabilità che da 25 numeri casuali tra 1 e 100, il più alto appaia più di una volta?

In molti giochi online, quando i giocatori completano un compito difficile, a volte viene dato un premio speciale che tutti coloro che hanno completato il compito possono usare. di solito si tratta di un supporto (metodo di trasporto) o di un altro oggetto di vanità (oggetti che non migliorano le prestazioni del personaggio e sono utilizzati principalmente per la personalizzazione dell'aspetto).

Quando viene data una tale ricompensa, il modo più comune per determinare chi ottiene la ricompensa è attraverso numeri casuali. Il gioco di solito ha un comando speciale che genera un numero casuale (probabilmente pseudocasuale, non criptato sicuro casuale) compreso tra 1 e 100 (a volte il giocatore può scegliere un altro spread, ma 100 è il più comune). Ogni giocatore usa questo comando, tutti i giocatori possono vedere chi ha lanciato cosa e l'oggetto viene assegnato alla persona che ottiene il punteggio più alto. La maggior parte dei giochi ha anche un sistema integrato in cui i giocatori premono semplicemente un pulsante e una volta che tutti hanno premuto il loro pulsante, il gioco fa automaticamente il resto.

A volte, alcuni giocatori generano lo stesso numero alto e nessuno li batte. questo è di solito risolto da quei giocatori che rigenerano i loro numeri, fino a quando non c'è un numero unico univoco.

La mia domanda è la seguente: supponiamo un generatore di numeri casuali in grado di generare qualsiasi numero compreso tra 1 e 100 con la stessa probabilità. Supponi di avere un gruppo di 25 giocatori che generano ciascuno 1 numero con un tale generatore di numeri casuali (ognuno con il proprio seme). Avrai 25 numeri tra 1 e 100, senza limiti sul numero di giocatori che tirano uno specifico numbder e nessuna relazione tra i numeri. Qual è la possibilità che il numero più alto generato sia generato da più di 1 giocatore? In altre parole, qual è la probabilità di un pareggio?

Permettere

• è il limite superiore dell'intervallo, x = 100 nel tuo caso.$x$$x=100$
• è il numero totale di pareggi, n = 25 nel tuo caso.$n$$n=25$

Per qualsiasi numero , il numero di sequenze di n numeri con ciascun numero nella sequenza ≤ y è y n . Di queste sequenze, il numero contenente no y è ( y - 1 ) n e il numero contenente uno y è n ( y - 1 ) n - 1 . Quindi il numero di sequenze con due o più y s è y n - ( y - 1 ) $y\le x$$n$$\le y$$y^n$$y$$(y-1)^n$$y$$n(y-1)^{n-1}$$y$ Il numero totale di sequenze di n numeri con il numero più alto y contenente almeno due y è x ∑ y = 1 ( y n - ( y - 1 ) n - n ( y - 1 ) n - 1

$$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$$ $n$$y$$y$ $$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$$

$x^n$

$$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$$

$x=100,n=25$

$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

Questo programma è uscito

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

Vorrei considerare di trovare prima la probabilità di avere un vincitore unico

$x$$\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$$y-1$

Il vincitore può vincere con il suo numero uguale a 2 a 100, quindi la probabilità totale è

$$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$$

$100^{23}$

$1-0.88=0.12$

$p$$1-p$$p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$$P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$