Convergenza in Distribution \ CLT

Dato che , il distr condizionale. di è . ha distr marginale. di Poisson ( ), è una costante positiva. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Mostra che, come , nella distribuzione. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Qualcuno potrebbe suggerire strategie per risolvere questo. Sembra che dobbiamo usare CLT (Central Limit Theorem) ma sembra difficile ottenere qualsiasi informazione su da solo. C'è un camper che può essere introdotto per prendere un campione di, per generare ? $Y$ $Y$

Si tratta di compiti a casa, quindi suggerimenti accolti

— user42102
fonte

Sembra una cosa da me anche per me. Forse è già ovvio per te, ma come theta-> Infinity cosa succede a N?

— Peter R

Dovrei guardare la distribuzione di N? Se ci gioco, sembra che il suo pdf sia sempre 0. Cosa posso dedurre da questo?

— user42102

qual è la media di una variabile casuale di poisson (theta)?

— Peter R

Ho confuso la N in questa domanda e la dimensione del campione n nella definizione di CLT. Quindi . Quindi vediamo che il valore atteso di N si avvicina all'infinito. Non sono sicuro di dove andare da qui però.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Dovresti esaminare la distribuzione del chi quadrato non centrale. Provare che il limite è normale sarà più complicato di una semplice applicazione del CLT che temo però.

— Caburke,

Risposte:

Fornisco una soluzione basata sulle proprietà delle funzioni caratteristiche, che sono definite come segue Sappiamo che la distribuzione è definita in modo univoco dalla funzione caratteristica, quindi dimostrerò che e da ciò segue la convergenza desiderata.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Per questo dovrò calcolare la media e la varianza di , per le quali utilizzo la legge delle aspettative / varianza totali - http://it.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Ho usato che la media e la varianza della distribuzione di Poisson sono e mean and la varianza di è e . Ora arriva il calcolo con funzioni caratteristiche. All'inizio riscrivo la definizione di come $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Ora uso il teorema che afferma La funzione caratteristica di è , che è preso da qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

Quindi ora calcoliamo la funzione caratteristica per usando l'espansione di Taylor per Alla fine usiamo le proprietà delle funzioni caratteristiche Ho saltato il calcolo perché ormai è troppo lungo ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
fonte

Ciò può essere mostrato attraverso la relazione con la distribuzione chisquared non centrale. C'è un buon articolo di Wikipedia su ciò a cui farò riferimento liberamente! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

Quindi, per ottenere qualcosa di ben definito, sostituiamo la formula sopra con che è la densità di una variabile chisquared non centrale con gradi di libertà e parametro di non centralità . Quindi, nella nostra analisi, dobbiamo ricordare di prendere il limite quando

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$ dopo aver preso il limite . Questo non è problematico, perché nel limite di la probabilità di

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ va a zero, quindi la massa del punto a zero scompare (la variabile chisquared con zero gradi di libertà deve essere interpretata come una massa di punti a zero, quindi non ha funzione di densità).

Ora, per ogni fisso , usa il risultato in wiki, distribuzioni relative alla sezione, approssimazioni normali, che fornisce il limite normale standard richiesto per ogni . Quindi, prendi il limite quando va a zero, il che dà il risultato. $k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
fonte