Distribuzione della convoluzione delle variabili quadrate normali e chi-quadrate?

il seguente problema è emerso di recente durante l'analisi dei dati. Se la variabile casuale X segue una distribuzione normale e Y segue una distribuzione (con n dof), come viene distribuito ? Fino ad ora ho inventato il pdf di : $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (X) & = & \frac{\partial F (\sqrt{X})}{\partial X} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{X}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{X}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{X})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{X} / 2} \cdot {(\sqrt{X})}_{X}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot X^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{X} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

nonché alcune semplificazioni per l'integrale di convoluzione ( ha il pdf con m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & : = & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (X) \cdot ψ_{n}^{2} (t - X) d X \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - X)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot X^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - X} + X) / 2) d X \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Qualcuno vede un buon modo per calcolare questo integrale per qualsiasi t reale o deve essere calcolato numericamente? O mi sto perdendo una soluzione molto più semplice?

— Leo Szilard
fonte

Se la

non fosse quadrata, avrei qualche consiglio specifico. Non penso che questo sarà trattabile (né necessariamente particolarmente illuminante anche se dovesse dimostrarsi trattabile). Sarei tentato di esaminare approcci computazionali, come la convoluzione numerica o la simulazione, a seconda di cosa esattamente vuoi fare con il risultato.

Y

$Y$

— Glen_b

È molto improbabile, secondo me, che l'integrale possa essere fatto.

— Dave31415

@ Dave31415 Anche per

, l'integrale può essere calcolato esplicitamente per valori integrali positivi di

. Equivarrà a una combinazione lineare di esponenziali e funzioni di errore con coefficienti che sono polinomi in

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

. La valutazione può essere eseguita tramite la sostituzione

. Ad esempio, con

otteniamo

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

Bello. Per i numeri dispari, potresti probabilmente approssimarlo con la media del risultato per delimitare i numeri pari? O forse no.

— Dave31415,

Grazie per le tue risposte! Per alcuni casi pari ho ottenuto un risultato simile con la funzione di Dawson, ma sembra che dovrò fare un po 'più di lavoro per una soluzione generale ...

— Leo Szilard

Nel caso in cui aiuti, la variabile è una variabile gamma random generalizzata (vedi ad esempio Stacy 1962). La tua domanda è chiedere la distribuzione della somma di una variabile aleatoria chi-quadrato e una variabile aleatoria gamma generalizzata. A mia conoscenza, la densità della variabile risultante non ha espressione in forma chiusa. Quindi, la convoluzione che hai ottenuto è un integrale senza soluzione di forma chiusa. Penso che sarai bloccato con una soluzione numerica per questo. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Una generalizzazione della distribuzione gamma. Annali di statistiche matematiche 33 (3) , pagg. 1187-1192.

— Ripristina Monica
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$^2$

— Carl
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Potresti spiegare come questo risponde alla domanda? Non sembra direttamente correlato.

— whuber

La convoluzione di Pearson di tipo III con se stessa può essere fatta. Per qualche ragione è più facile risolvere una cosa con se stessa, piuttosto che una cosa con un'altra. Ad esempio, ho risolto la convoluzione di Pearson di tipo III e ottenuto le convoluzioni di ND con GD, un problema correlato.

— Carl,

Non sembra aver aiutato, eliminerà a breve.

— Carl,