Stima dei parametri per un processo spaziale

Mi viene data una griglia di valori interi positivi. Questi numeri rappresentano un'intensità che dovrebbe corrispondere alla forza di convinzione di una persona che occupa quella posizione della griglia (un valore più alto che indica una convinzione più elevata). Una persona avrà in generale un'influenza su più celle della griglia.$n\times n$

Credo che il modello di intensità dovrebbe "sembrare gaussiano" in quanto vi sarà una posizione centrale di alta intensità, e quindi le intensità si ridurranno radialmente in tutte le direzioni. In particolare, vorrei modellare i valori come provenienti da un "gaussiano ridimensionato" con un parametro per la varianza e un altro per il fattore di scala.

Esistono due fattori complicanti:

• l'assenza di una persona non corrisponderà a un valore zero, a causa del rumore di fondo e di altri effetti, ma i valori dovrebbero essere più piccoli. Tuttavia possono essere irregolari e ad una prima approssimazione potrebbe essere difficile modellare come semplice rumore gaussiano.
• La gamma di intensità può variare. Per un'istanza, i valori possono variare tra 1 e 10 e, in un'altra, tra 1 e 100.

Sto cercando una strategia di stima dei parametri appropriata, o suggerimenti per la letteratura pertinente. Indica il motivo per cui sto affrontando questo problema nel modo sbagliato del tutto sarebbe apprezzato anche :). Ho letto del kriging e dei processi gaussiani, ma sembra un meccanismo molto pesante per il mio problema.

È possibile utilizzare questo modulo della libreria pysal python per i metodi di analisi dei dati spaziali che tratterò di seguito.

La tua descrizione di come l'atteggiamento di ogni persona è influenzata dagli atteggiamenti delle persone che la circondano può essere rappresentata da un modello autoregressivo spaziale (SAR) (vedi anche la mia semplice spiegazione SAR da questa risposta SE 2 ). L'approccio più semplice è ignorare altri fattori e stimare la forza dell'influenza del modo in cui le persone circostanti influenzano gli atteggiamenti reciproci usando la statistica I di Moran .

Se si desidera valutare l'importanza di altri fattori mentre si stima la forza dell'influenza delle persone circostanti, un compito più complesso, è possibile stimare i parametri di una regressione: . Vedi i documenti qui . (I metodi per stimare questo tipo di regressione provengono dal campo dell'econometria spaziale e possono diventare molto più sofisticati del riferimento che ho dato.)$y = bx + rhoWy + e$

La tua sfida sarà quella di costruire una matrice di pesi spaziali ( ). Penso che ogni elemento della matrice dovrebbe essere 1 o 0 in base al fatto che la persona sia a una certa distanza che ritieni sia necessaria per influenzare l'altra persona .$W$$w_{ij}$$i$$j$

Per avere un'idea intuitiva del problema, di seguito illustrerò come un processo di generazione di dati autoregressivi spaziali (DGP) creerà un modello di valori. Per i 2 reticoli di valori simulati i blocchi bianchi rappresentano valori alti e i blocchi scuri rappresentano valori bassi.

Nel primo reticolo sotto i valori della griglia sono stati generati da un processo casuale normalmente distribuito (o gaussiano), dove è zero.$rho$

Nel reticolo successivo sotto i valori della griglia sono stati generati da un processo autoregressivo spaziale, dove è stato impostato su qualcosa di alto, diciamo .8. $rho$

Ecco un'idea semplice che potrebbe funzionare. Come ho detto nei commenti, se si dispone di una griglia con intensità, perché non adattarsi alla densità della distribuzione bivariata?

Ecco il grafico di esempio per illustrare il mio punto:

Ogni punto della griglia con viene visualizzato come un quadrato, colorato in base all'intensità. Sul grafico è sovrapposto il grafico di contorno del grafico a densità normale bivariata. Come puoi vedere le linee di contorno si espandono nella direzione di intensità decrescente. Il centro sarà controllato dalla media della bivariata normale e dalla diffusione dell'intensità secondo la matrice di covarianza.

Per ottenere le stime della matrice media e della covarianza è possibile utilizzare una semplice ottimizzazione numerica, confrontare le intensità con i valori della funzione di densità utilizzando la matrice media e la covarianza come parametri. Riduci a icona per ottenere le stime.

Questo ovviamente non è una stima statistica, ma almeno ti darà un'idea di come procedere oltre.

Ecco il codice per riprodurre il grafico:

require(mvtnorm)
sigma=cbind(c(0.1,0.7*0.1),c(0.7*0.1,0.1))

x<-seq(0,1,by=0.01)
y<-seq(0,1,by=0.01)
z<-outer(x,y,function(x,y)dmvnorm(cbind(x,y),mean=mean,sigma=sigma))

mz<-melt(z)

mz$X1<-(mz$X1-1)/100
mz$X2<-(mz$X2-1)/100

colnames(mz)<-c("x","y","z")

mz$intensity<-round(mz$z*1000)

ggplot(mz, aes(x,y)) + geom_tile(aes(fill = intensity), colour = "white") + scale_fill_gradient(low = "white",     high = "steelblue")+geom_contour(aes(z=z),colour="black")

$X[i,j]$$X[i,j]$$(X[i_1,j_1],...,X[i_m,j_m])$$(X[i_1+k,j_1+l]...,X[i_m+k,j_m+l])$$corr(X[i_1,j_1],X[i_2,j_2])$$d([i_1,j_1],[i_2,j_2])$$\rho(d)$$\rho(d)=kd^{-1}$$k$

$d([i_1,j_1],[i_2,j_2]) = |i_1-i_2|+|j_1-j_2|$$\rho(d)$ad es. tramite la massima probabilità. Per ulteriori idee, cerca "campo casuale".