Quadrato di distribuzione normale con varianza specifica

Qual è la distribuzione del quadrato di una variabile casuale normalmente distribuita con ? So che è un argomento valido per la quadratura di una distribuzione normale standard , ma per quanto riguarda il caso della varianza non unitaria? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution

— CodeTrek
fonte

Perché non calcolarlo direttamente dall'equazione normale, quindi tracciare la funzione risultante?

Sto cercando una spiegazione teorica qui ...

— CodeTrek

Scrivi

... o equivalentemente

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Puoi farlo adesso?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b

? Quindi, niente di stravagante roba quadrata chi non centrata?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek,

Fintanto che la media è

, nessun oggetto chi-quadrato non centrale; distribuzione semplicemente ridimensionata di vaniglia

come sottolinea Glen_b.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate,

Per chiudere questo:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

con

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Questo è sbagliato. Se

quindi

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

manon

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Stai dividendo

per il fattore sbagliato. Guarda qui:en.wikipedia.org/wiki/…

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter

X

$X$

Oh, l'ho perso! Leggi troppo in fretta! Scuse

— Euler_Salter

@Euler_Salter Inoltre, la variabile standardizzata segue una distribuzione chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Devi quadrato per ottenere un chi-quadrato.

— Alecos Papadopoulos,