Campionamento Gibbs per modello Ising

Domanda a casa:

Considera il modello Ising 1-d.

Sia . è -1 o +1 $x = (x_1,...x_d)$ $x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Progettare un algoritmo di campionamento gibbs per generare campioni approssimativamente dalla distribuzione target . $\pi(x)$

Il mio tentativo:

Scegli casualmente i valori (-1 o 1) per riempire il vettore $x = (x_1,...x_{40})$ . Quindi forse $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ . Quindi questo è $x^0$ .

Quindi ora dobbiamo andare avanti e fare la prima iterazione. Dobbiamo disegnare le 40 diverse x per separatamente. Così... $x^1$

Disegna da $x_1^1$ $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Disegna da $x_2^1$ $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Disegna da $x_3^1$ $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Eccetera..

Quindi la parte che mi ha fatto inciampare è come trarre effettivamente dalla distribuzione condizionale. Come entra in gioco ? Forse un esempio di un pareggio chiarirebbe le cose. $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

— Collin
fonte

Guarda prima questo caso. Abbiamo lasciato cadere termini che non dipendono da . $x_1$

π (x_{1} ∣ x_{2}, \dots, x_{d}) = \frac{π (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d})}{π (x_{2}, \dots, x_{d})} \propto e^{x_{1} x_{2}}

$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$

P (X_{1} = - 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{- x_{2}}}{C}

$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$

P (X_{1} = 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{x_{2}}}{C}

$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$

\frac{e^{- x_{2}}}{C} + \frac{e^{x_{2}}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_{2}

$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Generalizzalo su (nota le differenze; vedi il commento di Ilmari sotto). $x_2,\dots,x_{40}$

Puoi usare i risultati analitici di Ising per verificare la tua simulazione?

— zen
fonte

Quindi, finisce solo per dipendere dal valore immediatamente precedente al vettore, ovvero l'unico termine che dipende da è , l'unico termine che dipende da è , ecc. di ? Come lo disegniamo poiché la distribuzione condizionale sembra valere solo per fino a 39?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{23}

$x_{23}$

x_{24}

$x_{24}$

x_{40}

$x_{40}$

i = 1

$i=1$

— Collin,

@ user2079802: No, per attraverso ottieni due termini : . Ma è ancora abbastanza facile valutarlo per .

x_{2}

$x_2$

x_{39}

$x_{39}$

π (x_{i} ∣ x_{1}, \dots, x_{i - 1}; x_{i + 1}, \dots, x_{d})

$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$

\propto

$\propto$

\exp (x_{i - 1} x_{i} + x_{i} x_{i + 1})

$\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$

x_{i} = \pm 1

$x_i=\pm1$

— Ilmari Karonen,