Come sbiancare i dati utilizzando l'analisi dei componenti principali?

Voglio trasformare i miei dati $\mathbf X$ tale che le varianze saranno una e le covarianze saranno zero (cioè voglio sbiancare i dati). Inoltre, i mezzi dovrebbero essere zero.

So che ci arriverò facendo la standardizzazione Z e la trasformazione PCA, ma in quale ordine dovrei farlo?

Aggiungo che la trasformazione sbiancante composta dovrebbe avere la forma .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

Esiste un metodo simile al PCA che fa esattamente entrambe queste trasformazioni e mi dà una formula del modulo sopra?

Innanzitutto, ottieni lo zero medio sottraendo la media $\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$ .

In secondo luogo, ottieni le covarianze zero facendo PCA. Se è la matrice di covarianza dei tuoi dati, allora PCA equivale a eseguire una composizione elettronica , dove è una matrice di rotazione ortogonale composta da autovettori di e è una matrice diagonale con autovalori sulla diagonale. Matrix fornisce una rotazione necessaria per de-correlare i dati (ovvero associa le caratteristiche originali ai componenti principali).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Terzo, dopo la rotazione ogni componente avrà varianza data da un autovalore corrispondente. Quindi, per rendere le variazioni pari a , è necessario dividere per la radice quadrata di .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Tutti insieme, la trasformazione sbiancante è . Puoi aprire le parentesi per ottenere il modulo che stai cercando.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Aggiornare. Vedi anche questa discussione successiva per maggiori dettagli: qual è la differenza tra lo sbiancamento ZCA e lo sbiancamento PCA?