La media dovrebbe essere usata quando i dati sono distorti?

Spesso i testi statistici introduttivi applicati distinguono la media dalla mediana (spesso nel contesto delle statistiche descrittive e motivando la sintesi della tendenza centrale usando la media, la mediana e la modalità) spiegando che la media è sensibile ai valori anomali nei dati campione e / o a distribuzioni demografiche distorte, e questo è usato come giustificazione per un'affermazione secondo cui la mediana deve essere preferita quando i dati non sono simmetrici.

Per esempio:

La migliore misura della tendenza centrale per un dato insieme di dati dipende spesso dal modo in cui i valori sono distribuiti .... Quando i dati non sono simmetrici, la mediana è spesso la migliore misura della tendenza centrale. Poiché la media è sensibile alle osservazioni estreme, viene tirata nella direzione dei valori dei dati periferici e, di conseguenza, potrebbe finire per essere eccessivamente gonfiata o eccessivamente sgonfiata. "
—Pagano and Gauvreau, (2000) Principles of Biostatistics , 2nd ed. (P&G erano a portata di mano, BTW, non li distinguevano di per sé .)

Gli autori definiscono la "tendenza centrale" in questo modo: "La caratteristica più comunemente studiata di un insieme di dati è il suo centro, o il punto su cui le osservazioni tendono a raggrupparsi".

Questo mi sembra un modo meno che schietto di dire usare solo la mediana, punto , perché usare la media solo quando i dati / le distribuzioni sono simmetrici è la stessa cosa che dire usa la media solo quando è uguale alla mediana. Modifica: whuber sottolinea giustamente che sto combinando solide misure di tendenza centrale con la mediana. Quindi è importante tenere presente che sto discutendo l'inquadramento specifico della media aritmetica rispetto alla mediana nelle statistiche introduttive applicate (dove, a parte la modalità, altre misure di tendenza centrale non sono motivate).

Piuttosto che giudicare l'utilità della media in base a quanto si discosta dal comportamento della mediana, non dovremmo semplicemente comprenderle come due diverse misure di centralità? In altre parole, essere sensibili all'asimmetria è una caratteristica del mezzo. Si potrebbe anche validamente affermare che "bene la mediana non va bene perché è in gran parte insensibile all'asimmetria, quindi usala solo quando è uguale alla media".

(La modalità è abbastanza ragionevole non essere coinvolto in questa domanda.)

Non sono d'accordo con il consiglio come regola generale. (Non è comune a tutti i libri.)

I problemi sono più sottili.

Se sei effettivamente interessato a dedurre la media della popolazione, la media del campione è almeno uno stimatore imparziale di essa e presenta una serie di altri vantaggi. In effetti, vedi il teorema di Gauss-Markov : è il migliore imparziale lineare.

Se le tue variabili sono fortemente distorte, il problema si presenta con "lineare" - in alcune situazioni, tutti gli stimatori lineari potrebbero essere cattivi, quindi il migliore potrebbe essere ancora poco attraente, quindi uno stimatore della media che non è lineare potrebbe essere migliore , ma richiederebbe sapere qualcosa (o anche parecchio) sulla distribuzione. Non abbiamo sempre quel lusso.

Se non sei necessariamente interessato all'inferenza relativa a una media della popolazione (" che cosa è un'età tipica? ", Dì o se c'è un passaggio di località più generale da una popolazione all'altra, che potrebbe essere formulato in termini di qualsiasi località, o anche di un test di una variabile che è stocasticamente più grande di un'altra), quindi fondere che in termini di popolazione la media non è necessaria o probabilmente controproducente (nell'ultimo caso).

Quindi penso che si pensi a:

• quali sono le tue attuali domande? La popolazione è forse una buona cosa di cui chiedere in questa situazione?

• qual è il modo migliore per rispondere alla domanda data la situazione (l'asimmetria in questo caso)? Usare sample significa l'approccio migliore per rispondere alle nostre domande di interesse?

Può darsi che tu abbia domande non direttamente sui mezzi della popolazione, ma tuttavia i mezzi di campionamento sono un buon modo per esaminare quelle domande ... o viceversa - la domanda potrebbe riguardare i mezzi di popolazione ma i mezzi di campionamento potrebbero non essere il modo migliore per rispondi a questa domanda.

Nella vita reale, dovremmo scegliere una misura di tendenza centrale basata su ciò che stiamo cercando di scoprire; e sì, a volte la modalità è la cosa giusta da usare. A volte è la media Winsorized o rifilata. A volte la media geometrica o armonica. A volte non esiste una buona misura della tendenza centrale.

I libri introduttivi sono scritti male, insegnano che ci sono regole da ricorrere al libro di cucina.

Prendi entrate. Questo è spesso molto distorto e talvolta presenta valori anomali; abbastanza sicuro, di solito vediamo "reddito mediano" riportato. Ma a volte i valori anomali e l'asimmetria sono importanti. Dipende dal contesto e richiede pensiero.

Ho scritto di più su questo

Anche quando i dati sono distorti (ad esempio, i costi dell'assistenza sanitaria calcolati insieme a una sperimentazione clinica, in cui pochi pazienti hanno totalizzato il costo zero perché sono morti subito dopo l'iscrizione e pochi pazienti hanno accumulato tonnellate di costi a causa degli effetti collaterali di un determinato programma di assistenza sanitaria sotto inchiesta ), la media può essere preferita alla mediana per almeno un motivo pratico: la moltiplicazione del costo medio per il numero di pazienti offre ai decisori sanitari l'impatto sul bilancio della tecnologia sanitaria studiata.

Penso che ciò che manca alla domanda, così come sia le risposte finora, sia che la discussione della media rispetto alla mediana nei libri di statistica introduttiva si svolga generalmente all'inizio di un capitolo su come riassumere numericamente una distribuzione. A differenza delle statistiche inferenziali, si tratta generalmente di produrre statistiche descrittive che sarebbero un modo utile per trasmettere informazioni sulla distribuzione dei dati numericamente anziché graficamente. I contesti in cui ciò si presenta è la sezione delle statistiche descrittive di un report o di un articolo di giornale in cui generalmente non vi è spazio per riepiloghi grafici di tutte le variabili nel set di dati. Se la distribuzione è distorta, in questo contesto sembra ragionevole scegliere la mediana rispetto alla media. Se la distribuzione è simmetrica senza valori anomali,