Distribuzione di valori estremi

Se un articolo segue la distribuzione normale, anche la media segue la distribuzione normale. Che dire di minimo e massimo?

Dovresti dare un'occhiata alle statistiche dell'ordine . Ecco una breve panoramica.

Sia un campione iid di dimensione disegnato da una popolazione con funzione di distribuzione e funzione di densità di probabilità . Definisci , dove indica la statistica di ordine del campione , ovvero il suo valore più piccolo . n F f Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) X ( r ) r X 1 , … X n$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Si può dimostrare che la funzione di densità di probabilità congiunta di è$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

y 1 < y 2 < … < y n$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ se e altrimenti.$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Integrando l'equazione precedente otteniamo

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

In particolare, per il minimo e il massimo, abbiamo rispettivamente

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Potresti anche voler leggere sulla distribuzione generalizzata del valore estremo (GEV) . Si scopre che come , la distribuzione (spostata e scalata) del valore massimo del campione converge in uno dei tre casi speciali della distribuzione GEV.$n\rightarrow\infty$

La somma dei gaussiani è gaussiana. Ecco perché la media è normale. La distribuzione di qualsiasi funzione non lineare di (finitamente molti) gaussiani non deve necessariamente essere gaussiana, e di solito non lo è. Questo è il caso della funzione massima. Per approssimare il massimo di un gaussiano multivariato, Hothorn è un buon punto di partenza.